题目内容
如图1，点
将线段
分成两部分，如果
，那么称点为线段的黄金分割点．
某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线
将一个面积为
的图形分成两部分，这两部分的面积分别为
，
，如果
，那么称直线为该图形的黄金分割线．
（1）研究小组猜想：在
中，若点
为边上的黄金分割点（如图2），则直线
是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点任作一条直线交于点
，再过点作直线
，交
于点
，连接
（如图3），则直线也是的黄金分割线．
请你说明理由．
（4）如图4，点是
的边的黄金分割点，过点作
，交
于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．
将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线
将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在
中，若点为边上的黄金分割点（如图2），则直线是的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点
任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图3），则直线也是的黄金分割线．请你说明理由．
（4）如图4，点
是的边的黄金分割点，过点作，交于点，显然直线是的黄金分割线．请你画一条的黄金分割线，使它不经过各边黄金分割点．（1）对，理由见解析（2）不可能（3）理由见解析（4）见解析
（1）直线是的黄金分割线．理由如下：
设的边上的高为
．
，
，
，
所以，
，
．··············· 2分
又因为点为边的黄金分割点，所以有
．因此
．
所以，直线是的黄金分割线．·············· 4分
（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时
，即
，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．········ 6分
（3）因为，所以
和
的公共边
上的高也相等，
所以有
．························· 7分
设直线与交于点
．所以
．
所以
，
．
又因为，所以
．··········· 9分
因此，直线也是的黄金分割线．··············· 10分
（4）画法不惟一，现提供两种画法；·················· 12分
画法一：如答图1，取的中点，再过点作一条直线分别交，于
，
点，则直线
就是的黄金分割线．
画法二：如答图2，在
上取一点，连接
，再过点作
交于点，连接，则直线就是的黄金分割线．
（1）由于
是同高，而点为边的黄金分割点，则，所以，故直线是的黄金分割线
（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是
（3）根据平行线间的距离相等，则，通过图形面积的转化，直线分三角形的图形面积有，故直线也是的黄金分割线
（4）画法不惟一，只需分成图形面积比相等即可
是的黄金分割线．理由如下：设
的边上的高为．，，，所以，
，．··············· 2分又因为点
为边的黄金分割点，所以有．因此．所以，直线
是的黄金分割线．·············· 4分（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时
，即，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．········ 6分（3）因为
，所以和的公共边上的高也相等，所以有
．························· 7分设直线
与交于点．所以．所以
，．又因为
，所以．··········· 9分因此，直线
也是的黄金分割线．··············· 10分（4）画法不惟一，现提供两种画法；·················· 12分
画法一：如答图1，取
的中点，再过点作一条直线分别交，于，点，则直线就是的黄金分割线．画法二：如答图2，在
上取一点，连接，再过点作交于点，连接，则直线就是的黄金分割线．（1）由于
是同高，而点为边的黄金分割点，则，所以，故直线是的黄金分割线（2）只需判断它们面积比是否相等，若相等则中线是三角形的黄金分割线，否则不是
（3）根据平行线间的距离相等，则
，通过图形面积的转化，直线分三角形的图形面积有，故直线也是的黄金分割线（4）画法不惟一，只需分成图形面积比相等即可
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在平面直角坐标系中，
若
、
的长是关于
的一元二次方程
的两个根，且
的值．
为
求经过
、
与
是否相似？
在平面直角坐标系内，则在直线
上是否存在点
使以
、
、
、
的边长为4，
、
分别是
、
上的两个动点，当
和
垂直，
；
，梯形
的面积为
，求
之间的函数关系式；当
？并求出此时BM的长．
，最下面一级踏板的长度
．木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两个外端各做出一个长为4cm的榫头（如图2所示），以此来固定踏板．现市场上有长度为2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由．（不考虑锯缝的损耗）
过圆心
，交圆
两点，
切圆
，作
，垂足为
，连结
．
的情形，
两点，
与
交于点
，
，写出图2中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
．
，
，以
为位似中心，按比例尺
，把
缩小,则点
的对应点
的坐标为（ ）
或
或
