题目内容

【题目】如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD.延长CA至点E,使AE=AC;延长CB至点F,使BF=BC.连接AD,AF,DF,EF.延长DB交EF于点N.

(1)求证:AD=AF;

(2)求证:BD=EF;

(3)试判断四边形ABNE的形状,并说明理由.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)四边形ABNE是正方形,理由详见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据等腰直角三角形的性质可得ABC=ACB=45°,求得ABF=135°ABF=ACD,再证得BF=CD,由SAS证明ABF≌△ACD,即可得出AD=AF;(2)由(1)知AF=AD,ABF≌△ACD,得出FAB=DAC,证出EAF=BAD,由SAS证明AEF≌△ABD,得出对应边相等即可;(3)由全等三角形的性质得出得出AEF=ABD=90°,证出四边形ABNE是矩形,由AE=AB,即可得出四边形ABNE是正方形.

试题解析:(1)证明:AB=AC,BAC=90°

∴∠ABC=ACB=45°

∴∠ABF=135°

∵∠BCD=90°

∴∠ABF=ACD,

CB=CD,CB=BF,BF=CD,

ABF和ACD中,

∴△ABF≌△ACD(SAS),

AD=AF;

(2)证明:由(1)知,AF=AD,ABF≌△ACD,

∴∠FAB=DAC,

∵∠BAC=90°

∴∠EAB=BAC=90°

∴∠EAF=BAD,

AEF和ABD中,

∴△AEF≌△ABD(SAS),

BD=EF;

(3)解:四边形ABNE是正方形;理由如下:

CD=CB,BCD=90°

∴∠CBD=45°

由(2)知,EAB=90°AEF≌△ABD,

∴∠AEF=ABD=90°

四边形ABNE是矩形,

AE=AB,

四边形ABNE是正方形.

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