题目内容

半径分别为r₁，r₂的⊙O₁和⊙O₂相离，并且一条外公切线长度为t₁，一条内公切线的长度为t₂，则t₁²-t₂²=r₁r₂；如果一条外公切线与连心线所夹锐角为α，则sinα=；如果一条内公切线与连心线所夹锐角为β，则sinβ=．

4 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：连接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D作O₂E⊥O₁A于E，延长O₁E到F使CF=O₂D=r₂，连接O₂F，根据直角三角形中三边长度即可求得锐角的三角函数值，即可解题．
解答：

解：如图，连接O₁A，O₁C，O₂B，O₂D，
作O₂E⊥O₁A于E，延长O₁E到F使CF=O₂D=r₂，连接O₂F，
则∠EO₂O₁=α，∠FO₂O₁=β
∴sinα= $\text{[math]}$ ，sinβ= $\text{[math]}$ ，
在Rt△EO₁O₂中，t₁²=O₁O₂²-（r₁-r₂）²①
在Rt△O₁FO₂中，t₂²=O₁O₂²-（r₁+r₂）²②
①-②得t₁²-t₂²=4r₁r₂，
故答案为4、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了三角函数值的求值，考查了直角三角形中三角函数值的应用，考查了勾股定理在直角三角形中的运用．

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