Question

如图，在Rt△ACB中，∠C=90゜，点O为AB的中点，OE⊥OF交AC于E点、交BC于F点，EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，
求证：AM=ON．

Answer 1

分析：首先连接连接OC，EF，易证得C，E，O，F四点共圆，又由圆周角定理与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得∠A=∠EFO，继而证得△EOF∽△EMA，可得

AM

EM

=

OF

EO

，易证得∴△EOM∽∠OFN，可得

ON

EM

=

OF

EO

，即可证得结论．

解答：证明：连接OC，EF，
∵在Rt△ACB中，∠C=90゜，OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠C+∠EOF=180°，
∴C，E，O，F四点共圆，
∴∠ECO=∠EFO，
∵点O为AB的中点，
∴OA=OC=OB=

1

2

AB，
∴∠A=∠ECO，
∴∠A=∠EFO，
∵EM⊥AB，
∴∠AME=∠EOF=90°，
∴△EOF∽△EMA，
∴

AM

EM

=

OF

EO

，
∵FN⊥AB，EM⊥AB，
∴∠FON+∠NFO=90°，
∴∠EOM+∠MEO=90°，
∵∠EOM+∠FON=90°，
∴∠MEO=∠FON，
∴△EOM∽∠OFN，
∴

ON

EM

=

OF

EO

，
∴

AM

EM

=

ON

EM

，
∴AM=ON．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、四点共圆以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．