Question

【题目】如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，为公共顶点，，它们的斜边长为2，若固定不动，绕点旋转，、与边的交点分别为、（点不与点重合，点不与点重合），设，．

（1）请在图（1）中找出两对相似但不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．

（2）求与a的函数关系式，直接写出自变量a的取值范围．

（3）以的斜边所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴，建立平面直角坐标系如图（2），若，求出点的坐标，猜想线段、和之间的关系，并通过计算加以验证．

Answer 1

【答案】（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA，证明见解析；（2）b=，1＜a＜2；（3）G（1－，0）；BG2+CF2=FG2．

【解析】

(1)找到有公共角的和45°角的两个三角形即可；

(2)证明△ACG∽△FBA，利用相似三角形的对应边成比例可得与a的函数关系式，根据点F与点C重合时a为2，点G与点B重合时a为1，可得a的取值范围

(3)先求得a=b=，可求点G（1－，0）；根据BG=OB﹣OG，求得FG=BC﹣2BG=2－2，即可得到线段、和之间的关系.

（1）△ACG∽△FAG，△FAG∽△FBA．

∵∠GAF=∠C=45°，

∠AGF=∠AGC，

∴△ACG∽△FAG．类似证明△FAG∽△FBA；

（2）∵∠CAG=∠CAF+45°，∠BFA=∠CAF+45°，

∴∠CAG=∠BFA．

∵∠B=∠C=45°，

∴△ACG∽△FBA，

∴ =．

由题意可得CA=BA=．

∴=．∴b=．

自变量a的取值范围为1＜a＜2．

（3）由BG=CF可得BF=CG，即a=b．

∵b=，

∴a=b=．

∵OB=OC=BC=1，

∴OF=OG=﹣1．

∴G（1－，0）．

线段BG、FG和CF之间的关系为BG2+CF2=FG2；

∵BG=OB﹣OG=1－(－1)=2－=CF，

FG=BC﹣2BG= 2－2(2－)=2－2．

∵BG2+CF2=2(2－)2=12－8，FG2=(2－2)2=12－8．

∴BG2+CF2=FG2 ．