题目内容

【题目】如图,已知正方形的边长为,点边上的一个动点,连接,过点的垂线交于点,以为边作正方形,顶点在线段上,对角线相交于点.(1)若,则

(2)①求证:点一定在的外接圆上;

当点从点运动到点时,点也随之运动,求点经过的路径长;

(3)在点从点到点的运动过程中,的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到边的距离的最大值.

【答案】(1);(2)①见解析;②2;(3) .

【解析】(1)根据正方形的性质得到∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,然后根据垂直的性质和直角三角形的两锐角互余的性质得到∠AEP=∠BPC,再根据两角对应相等的两三角形相似证得△APE∽△BCP,最后根据相似三角形的对应边成比例求解即可

(2)①证明A、P、O、E四点共圆,即可得出结论;

②连接OA、AC,由勾股定理得到AC的长,由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°,点O在AC上,当点P运动到点B时,O为AC 的中点,即可求解;

(3)设△APE的外接圆的圆心为M,作MN⊥ABN,由三角形中位线定理得到MN=AE,设AP=x,则BP=4-x,由(1)中的相似三角形的性质:对应边成比例,求出AE= x-x2=-(x-2)2+1,由二次函数的最值求出AE的最大值为1,然后可求MN的值.

(1)解:∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形,

∴∠A=∠B=∠EPG=90°,PF⊥EG,AB=BC=4,∠OEP=45°,

∴∠AEP+∠APE=90°,∠BPC+∠APE=90°,

∴∠AEP=∠BPC,

∴△APE∽△BCP,

,即

解得:AE=

(2)①证明:∵PF⊥EG,

∴∠EOP=90°,

∴∠EOP+∠A=180°,

∴A、P、O、E四点共圆,

∴点O一定在△APE的外接圆上;

②解:连接OA、AC,如图1所示:

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠B=90°,∠BAC=45°,

∴AC=

∵A、P、O、E四点共圆,

∴∠OAP=∠OEP=45°,

∴点OAC上,

P运动到点B时,OAC的中点,OA=AC=2

即点O经过的路径长为2

(3)解:设△APE的外接圆的圆心为M,作MN⊥ABN,如图2所示:

MN∥AE,

∵ME=MP,

∴AN=PN,

∴MN=AE,

AP=x,则BP=4-x,

由(1)得:△APE∽△BCP,

,即

解得:AE=x-x2=-(x-2)2+1,

∴x=2时,AE的最大值为1,此时MN的值最大=×1=,即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为.

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