题目内容

【题目】如图,在ABC中,AB=AC,AE是BAC的平分线,ABC的平分线 BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交 AB于点F.

(1)求证:AE为O的切线.

(2)当BC=8,AC=12时,求O的半径.

(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.

【答案】(1)证明见解析;

(2)O的半径为3;

(3)2

析】

试题分析:(1)连接OM.利用角平分线的性质和平行线的性质得到AEOM后即可证得AE是O的切线;

(2)设O的半径为R,根据OMBE,得到OMA∽△BEA,利用平行线的性质得到,即可解得R=3,从而求得O的半径为3;

(3)过点O作OHBG于点H,则BG=2BH,根据OME=MEH=EHO=90°,得到四边形OMEH是矩形,从而得到HE=OM=3和BH=1,证得结论BG=2BH=2.

试题解析:(1)证明:连接OM.

AC=AB,AE平分BAC,

AEBC,CE=BE=BC=4,

OB=OM,

∴∠OBM=OMB,

BM平分ABC,

∴∠OBM=CBM,

∴∠OMB=CBM,

OMBC

AEBC,

AEOM,

AE是O的切线;

(2)设O的半径为R,

OMBE,

∴△OMA∽△BEA,

解得R=3,

∴⊙O的半径为3;

(3)过点O作OHBG于点H,则BG=2BH,

∵∠OME=MEH=EHO=90°,

四边形OMEH是矩形,

HE=OM=3,

BH=1,

BG=2BH=2.

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