题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动,M,N分别是AD,CD的中点,连接MN,设点D运动的时间为t.
(1)判断MN与AC的位置关系;
(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积;
(3)若△DMN是等腰三角形,求t的值.
【答案】(1)MN∥AC;
(2)线段MN所扫过区域的面积为12;
(3)当t=5或6或时,△DMN为等腰三角形.
【解析】
试题分析:(1)利用三角形中位线证明即可;
(2)分别取△ABC三边AC,AB,BC的中点E,F,G,并连接EG,FG,根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积求解即可;
(3)分三种情况:①当MD=MN=3时,②当MD=DN,③当DN=MN时,分别求解△DMN为等腰三角形即可.
试题解析:(1)∵在△ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点,
∴MN∥AC;
(2)如图1,分别取△ABC三边AC,AB,BC的中点E,F,G,并连接EG,FG,
根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积,
∵AC=6,BC=8,
∴AE=3,GC=4,
∵∠ACB=90°,
∴S四边形AFGE=AEGC=3×4=12,
∴线段MN所扫过区域的面积为12.
(3)据题意可知:MD=AD,DN=DC,MN=AC=3,
①当MD=MN=3时,△DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,
∴t=6,
②当MD=DN时,AD=DC,如图2,过点D作DH⊥AC交AC于H,则AH=AC=3,
∵cosA=,
∴,解得AD=5,
∴AD=t=5.
③如图3,当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CM⊥AD,
∵cosA=,即,
∴AM=,
∴AD=t=2AM=,
综上所述,当t=5或6或时,△DMN为等腰三角形.