题目内容

【题目】如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=6,BC=8,点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动,到达B点即停止运动,M,N分别是AD,CD的中点,连接MN,设点D运动的时间为t.

(1)判断MN与AC的位置关系;

(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中,线段MN所扫过区域的面积;

(3)若DMN是等腰三角形,求t的值.

【答案】(1)MNAC;

(2)线段MN所扫过区域的面积为12

(3)当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.

析】

试题分析:(1)利用三角形中位线证明即可;

(2)分别取ABC三边AC,AB,BC的中点E,F,G,并连接EG,FG,根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积求解即可;

(3)分三种情况:①当MD=MN=3时,②当MD=DN,③当DN=MN时,分别求解DMN为等腰三角形即可.

试题解析:(1)ADC中,M是AD的中点,N是DC的中点,

MNAC;

(2)如图1,分别取ABC三边AC,AB,BC的中点E,F,G,并连接EG,FG,

根据题意可得线段MN扫过区域的面积就是AFGE的面积,

AC=6,BC=8,

AE=3,GC=4,

∵∠ACB=90°,

S四边形AFGE=AEGC=3×4=12,

线段MN所扫过区域的面积为12.

(3)据题意可知:MD=AD,DN=DC,MN=AC=3,

①当MD=MN=3时,DMN为等腰三角形,此时AD=AC=6,

t=6,

②当MD=DN时,AD=DC,如图2,过点D作DHAC交AC于H,则AH=AC=3,

cosA=

,解得AD=5,

AD=t=5.

③如图3,当DN=MN=3时,AC=DC,连接MC,则CMAD,

cosA=,即

AM=

AD=t=2AM=

综上所述,当t=5或6或时,DMN为等腰三角形.

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