题目内容
如图，在平面直角坐标系中，直线y=-
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AO返回；点Q从A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当点P、Q运动时，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BO-OP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）点Q的坐标是（
t
t）（用含t的代数式表示）；
（2）当点E在BO上时，四边形QBED能否为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，直线DE经过点O．
| 4 |
| 3 |
（1）点Q的坐标是（
3-
t
| 3 |
| 5 |
3-
t
，| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）当点E在BO上时，四边形QBED能否为直角梯形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，直线DE经过点O．
分析：（1）首先过点Q作QF⊥OA于点F，由直线y=-
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，可求得OA，OB的长，然后由勾股定理，即可求得AB的长，易得△AQF∽△ABO，然后由相似三角形的对应边成比例，即可表示出QF与AF的长，继而可求得点Q的坐标；
（2）分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
（3）根据题意可知即OP=OQ时，直线DE经过点O；分别从当P从O到A与点P从A到O去分析，列方程即可求得t的值．
| 4 |
| 3 |
（2）分别从DE∥QB与PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性质，即可求得t的值；
（3）根据题意可知即OP=OQ时，直线DE经过点O；分别从当P从O到A与点P从A到O去分析，列方程即可求得t的值．
解答：
解：（1）过点Q作QF⊥OA于点F，
∵直线y=-
x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（3，0），B（0，4），
∴在Rt△AOB中，AB=
=5，
∵OA⊥OB，
∴QF∥OB，
∴△AQF∽△ABO，
∴
=
=
，
∵AQ=t，
即
=
=
，
∴AF=
t，QF=
t，
∴OF=OA-AF=3-
t，
∴点Q的坐标为：（3-
t，
t）；
故答案为：3-
t，
t；
（2）四边形QBED能成为直角梯形．
①当0＜t＜3时，
∴AQ=OP=t，
∴AP=3-t．
如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得
=
．
∴
=
．
解得t=
；
如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得
=
．
即
=
．
解得t=
；
②当3＜t＜5时，AQ=t，AP=t-3，
如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得
=
．
∴
=
．
解得t=-
（舍去）；
如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得
=
．
即
=
．
解得t=
＞5（舍去）；
综上所述：t=
或
；
（3）当t=
或
时，DE经过点O．
理由：①如图4，当DE经过点O时，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ=t，
由于P与Q运动的时间和速度相同，
∴AQ=EQ=EP=t，
∴∠AEQ=∠EAQ，
∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
∴∠BEQ=∠EBQ，
∴BQ=EQ，
∴EQ=AQ=BQ=
AB
∴t=
，
②如图5，当P从A向O运动时，
过点Q作QF⊥OB于F，
∵EP=6-t，
∴EQ=EP=6-t，
∵AQ=t，BQ=5-t，sin∠ABO=
=
，cos∠ABO=
=
，
∴FQ=
（5-t）=3-
t，BF=
（5-t）=4-
t，
∴EF=4-BF=
t，
∵EF2+FQ2=EQ2，
即（3-
t）2+（
t）2=（6-t）2，
解得：t=
．
∴当DE经过点O时，t=
或
．
解：（1）过点Q作QF⊥OA于点F，∵直线y=-
| 4 |
| 3 |
∴点A（3，0），B（0，4），
∴在Rt△AOB中，AB=
| OA2+OB2 |
∵OA⊥OB，
∴QF∥OB，
∴△AQF∽△ABO，
∴
| AF |
| OA |
| QF |
| OB |
| AQ |
| AB |
∵AQ=t，
即
| AF |
| 3 |
| QF |
| 4 |
| t |
| 5 |
∴AF=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴OF=OA-AF=3-
| 3 |
| 5 |
∴点Q的坐标为：（3-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
故答案为：3-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（2）四边形QBED能成为直角梯形．
①当0＜t＜3时，
∴AQ=OP=t，
∴AP=3-t．
如图2，当DE∥QB时，∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得
| AQ |
| AO |
| AP |
| AB |
∴
| t |
| 3 |
| 3-t |
| 5 |
解得t=
| 9 |
| 8 |
如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得
| AQ |
| AB |
| AP |
| AO |
即
| t |
| 5 |
| 3-t |
| 3 |
解得t=
| 15 |
| 8 |
②当3＜t＜5时，AQ=t，AP=t-3，
如图2，当DE∥QB时，
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．
此时∠AQP=90°．
由△APQ∽△ABO，得
| AQ |
| AO |
| AP |
| AB |
∴
| t |
| 3 |
| t-3 |
| 5 |
解得t=-
| 9 |
| 2 |
如图3，当PQ∥BO时，
∵DE⊥PQ，
∴DE⊥BO，四边形QBED是直角梯形．
此时∠APQ=90°．
由△AQP∽△ABO，得
| AQ |
| AB |
| AP |
| AO |
即
| t |
| 5 |
| t-3 |
| 3 |
解得t=
| 15 |
| 2 |
综上所述：t=
| 9 |
| 8 |
| 15 |
| 8 |
（3）当t=
| 5 |
| 2 |
| 45 |
| 14 |
理由：①如图4，当DE经过点O时，
∵DE垂直平分PQ，
∴EP=EQ=t，
由于P与Q运动的时间和速度相同，∴AQ=EQ=EP=t，
∴∠AEQ=∠EAQ，
∵∠AEQ+∠BEQ=90°，∠EAQ+∠EBQ=90°，
∴∠BEQ=∠EBQ，
∴BQ=EQ，
∴EQ=AQ=BQ=
| 1 |
| 2 |
∴t=
| 5 |
| 2 |
②如图5，当P从A向O运动时，
过点Q作QF⊥OB于F，
∵EP=6-t，
∴EQ=EP=6-t，
∵AQ=t，BQ=5-t，sin∠ABO=
| OA |
| AB |
| 3 |
| 5 |
| OB |
| AB |
| 4 |
| 5 |
∴FQ=
| 3 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴EF=4-BF=
| 4 |
| 5 |
∵EF2+FQ2=EQ2，
即（3-
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
解得：t=
| 45 |
| 14 |
∴当DE经过点O时，t=
| 5 |
| 2 |
| 45 |
| 14 |
点评：此题考查了一次函数上点的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角梯形的性质．此题综合性较强，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
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