Question

已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线交AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）若AE=5，AD=8，试求四边形AEDF的面积．

Answer 1

分析：（1）由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，∴AF=DF，∴四边形AEDF是菱形；
（2）因为菱形的对角线互相垂直平分，可得OA=4，根据勾股定理OE=3，∴EF=6，菱形ABCD的面积=6×8÷2=24．

解答：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF，
∴四边形AEDF是菱形；

（2）解：连接EF，与AD交于点O，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AD、EF互相垂直且平分，
∴OA=4
根据勾股定理，OE=

52-42

=3，
∴EF=6，
∴四边形AEDF的面积=6×8÷2=24．

点评：此题主要考查菱形的判定和性质和面积计算．