题目内容

在数学学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括,发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律,由“特殊”到“一般”进行抽象概括的:22×23=25,23×24=27,22×26=28…?2m×2n=2m+n…?am×an=am+n(m、n都是正整数).
我们亦知:
2
3
2+1
3+1
2
3
2+2
3+2
2
3
2+3
3+3
2
3
2+4
3+4

(1)请你根据上面的材料归纳出a、b、c(a>b>0,c>0)之间的一个数学关系式.
(2)试用(1)中你归纳的数学关系式,解释下面生活中的一个现象:“若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”.
分析:(1)根据题意归纳出一般性式子,利用作差法证明即可;
(2)利用(1)得出的结论说明糖水更甜了即可.
解答:解:(1)根据所给的式子之间的关系,可以用a、b、c的数学关系式表示出一般的规律
b
a
b+c
a+c

验证:
b+c
a+c
-
b
a
=
a(b+c)-b(a+c)
a(a+c)
=
ab+ac-ab-bc
a(a+c)
=
c(a-b)
a(a+c)

∵a>b>0,c>0,
c(a-b)
a(a+c)
>0,
b
a
b+c
a+c

(2)∵
n
m
n+k
m+k

∴原来糖水中糖的质量分数
n
m
小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数
n+k
m+k

则糖水更甜了.
点评:此题考查了分式加减法的应用,弄清题意是解本题的关键.
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