Question

在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：
2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸，…?2^m×2ⁿ=2^m+n，…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整数）．我们亦知：

2

3

＜

2+1

3+1

，

2

3

＜

2+2

3+2

，

2

3

＜

2+3

3+3

，

2

3

＜

2+4

3+4

，…
（1）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式；
（2）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”；
（3）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=a，CA=b，AD=BE=c（a＞b），能否根据这个图形提炼出与（1）中相同的关系式并给予证明．

Answer 1

分析：（1）根据已知不等式可找出规律，因为3＞2＞0，1＞0，2＞0，3＞0，

2

3

＜

2+1

3+1

；

2

3

＜

2+2

3+2

…故a＞b＞0，c＞0，则

b

a

＜

b+c

a+c

；
（2）因为

n

m

＜

n+k

m+k

，说明原来糖水中糖的质量分数

n

m

小于加入k克糖后糖水中糖的
质量分数

n+k

m+k

，所以糖水更甜了．
（3）利用三角函数值的定义，相似三角形的相似比及三角形的中位线定理，列出不等式，再利用三角函数值的定义找出a，b，c的关系式．

解答：解：（1）a，b，c的数学关系式是

b

a

＜

b+c

a+c

；

（2）因为

n

m

＜

n+k

m+k

，说明原来糖水中糖的质量分数

n

m

小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数

n+k

m+k

，所以糖水更甜了．

（3）证法一：
在Rt△ABC和Rt△DEC中，tan∠ABC=

b

a

，tan∠DEC=

b+c

a+c

．
过A点作AF∥CE，交ED于F点，则△DAF∽△DCE．
∴

DC

EC

=

DA

FA

∵DC=DA+AC＜EB+BC=EC，
∴DA＜AF
而DA=EB，
∴AF＞EB．
如图，过A点作AG∥ED，则AG必与EB的延长线交于G点，
∴∠DEC=∠AGC＞∠ABC
∴tan∠DEC＞tan∠ABC
∴

b+c

a+c

＞

b

a

证法二：同证法一，知AF＞AD=BE，且AF∥BE，故AB与FE的延长线的交点G必在BE的下方（如图）．
∴∠DEC＞∠EBG=∠ABC．
∴tan∠DEC＞tan∠ABC．
∴

b+c

a+c

＞

b

a

．

点评：此题的关键是找出规律，结合不等式的基本性质，特殊角的三角函数值的定义及三角形的相关性质解答，综合性比较强，属中等难度题目．