Question

在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征．
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸，…?2^m×2ⁿ=2^m+n，…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整数）．
探索问题：
（1）比较下列各组数据的大小：
①

2

3

＜

2+1

3+1

，②

2

3

＜

2+2

3+2

，③

2

3

＜

2+3

3+3

，④

2

3

＜

2+4

3+4

，…．
（2）请你根据上面的材料归纳出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之间的一个数学关系式；并用已学的数学知识说明你发现结论的正确性．
（3）试用（2）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

Answer 1

分析：（1）分别进行计算即可判断出大小；
（2）根据分式的定义以及（1）的计算规律写出即可；
（3）根据糖水的浓度列出分式，然后再进行计算作出判断．

解答：解：（1）比较下列各组数据的大小：
∵

2+1

3+1

=

3

4

，

2+2

3+2

=

4

5

，

2+3

3+3

=

5

6

，

2+4

3+4

=

6

7

，
∴①

2

3

＜

2+1

3+1

，②

2

3

＜

2+2

3+2

，③

2

3

＜

2+3

3+3

，④

2

3

＜

2+4

3+4

；

（2）你根据上面的材料可得：

b

a

＜

b+c

a+c

．
说明：∵

b

a

-

b+c

a+c

=

b(a+c)

a(a+c)

-

a(b+c)

a(a+c)

=

ab+bc-ab-ac

a(a+c)

=

bc-ac

a(a+c)

=

c(b-a)

a(a+c)

，
又∵a＞b＞0，c＞0，
∴a+c＞0，b-a＜0，
∴

c(b-a)

a(a+c)

＜0，
∴

b

a

-

b+c

a+c

＜0，
即：

b

a

＜

b+c

a+c

成立；

（3）∵原来糖水中糖的质量分数=

n

m

，
加入k克糖后糖水中糖的质量分数+

n+k

m+k

，
由（2）

b

a

＜

b+c

a+c

可得

n

m

＜

n+k

m+k

，
所以糖水更甜了．

点评：本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，熟练掌握并灵活运用整式的加减混合运算进行计算是解题的关键，也是本题的难点．