题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,CD⊥AB于点D,CD=BD,BE平分∠ABC,点H是BC边的中点,连接DH,交BE于点G,连接CG.
(1)求证:△ADC≌△FDB;
(2)求证:CE= BF;
(3)判断△ECG的形状,并证明你的结论;
(4)猜想BG与CE的数量关系,并证明你的结论.

【答案】
(1)证明:∵AB=BC,BE平分∠ABC,

∴BE⊥AC,CE=AE,

∵CD⊥AB,

∴∠ACD=∠DBF,

在△ADC和△FDB中,

∴△ADC≌△FDB(ASA);


(2)证明:∵△ADC≌△FDB,

∴AC=BF,

又∵CE=AE,

∴CE= BF;


(3)证明:△ECG为等腰直角三角形.

∵点H是BC边的中点,

∴GH垂直平分BC,

∴GC=GB,

∵∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF,得∠ECG=45°,

又∵BE⊥AC,

∴△ECG为等腰直角三角形;


(4)证明:GB= CE;

∵△ECG为等腰直角三角形,

∴GC= CE,

∵GC=GB,

∴GB= CE.


【解析】(1)首先根据AB=BC,BE平分∠ABC,得到BE⊥AC,CE=AE,进一步得到∠ACD=∠DBF,结合CD=BD,即可证明出△ADC≌△FDB;(2)由△ADC≌△FDB得到AC=BF,结合CE=AE,即可证明出结论;(3)由点H是BC边的中点,得到GH垂直平分BC,即GC=GB,由∠DBF=∠GBC=∠GCB=∠ECF,得∠ECO=45°,结合BE⊥AC,即可判断出△ECG的形状;(4)由△ECG为等腰直角三角形,得到GC= CE,因为GC=GB,即可得到GB= CE.

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