Question

如图，已知：将菱形ABCD置于平面直角坐标系中．直线AB所在的直线为y=

3

4

x+b，若菱形的周长为20．
（1）求b的值；
（2）动点P从点A出发，沿着射线AB出发，同时点Q从点B出发，沿着折线BCD向终点D运动，P、Q的速度均为1个单位每秒，当点Q到达终点D时，点P随之停止运动，运动时间为t秒．设△PBQ的面积为s，求s与t的函数关系式，并注明t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，以动点Q为圆心，

84

25

长为半径作⊙Q，设AB与直线PQ所夹的锐角为α，t为何值时，tan∠α=3 并判断此时⊙Q与直线AD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据菱形的周长求出边长AB，再根据直线解析式求出点A、B，然后表示出OA、OB，然后利用勾股定理列式计算即可求出b；
（2）利用菱形的面积求出菱形的高，然后分①点P在AB上时，点Q在BC上，过点Q作QE⊥AB于E，表示出QE，再根据三角形的面积公式列式整理即可；②点P不在边AB上时，点Q在边CD上，根据平行线间的距离相等可得点Q到BP的距离等于菱形的高，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（3）分①点Q在BC上时，表示出QE，再利用勾股定理列式求出BE，然后根据tan∠α=3列式求出t，再根据直线与圆的位置关系判定即可；②点Q在CD上时，过点Q作QE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，利用勾股定理列式求出CF，再求出BE，再根据tan∠α=3列式求出t值，然后求出DQ的长度，再利用锐角三角函数求出点Q到AD的距离，然后根据直线与圆的位置关系判定即可．

解答：解：（1）∵菱形的周长为20，
∴菱形的边长AB=20÷4=5，
令x=0，则y=b，
令y=0，则

3

4

x+b=0，
解得x=-

4

3

b，
∴OA=

4

3

b，OB=b，
在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²，
即（

4

3

b）²+b²=5²，
解得b₁=3，b₂=-3，
∵点B在y轴正半轴，
∴b＞0，
∴b=3；

（2）设菱形的高为h，
∵OA=

4

3

b=4，OB=b=3，
∴AC=8，BD=6，
∴菱形的面积=5h=

1

2

×8×6，
解得h=

24

5

，
①如图1，点P在AB上时，点Q在BC上，0＜t＜5，过点Q作QE⊥AB于E，
则QE=

24

25

t，
△PBQ的面积为s=

1

2

×（5-t）×

24

25

t=-

12

25

t²+

12

5

t，
②如图2，点P不在边AB上时，点Q在边CD上，5＜t＜10，
点Q到AB的距离等于菱形的高，
∴△PBQ的面积为s=

1

2

×（t-5）×

24

5

=

12

5

t-12，
综上所述，s与t的关系式为s=

- 12 25 t2+ 12 5 t(0＜t＜5) 12 5 t-12(5＜t＜10)

；

（3）①点Q在BC上时，QE=

24

25

t，
由勾股定理得，BE=

t2-( 24 25 t)2

=

7

25

t，
∴tan∠α=

QE

PE

=

24 25 t

5-t+ 7 25 t

=3，
解得t=

125

26

，
此时，点Q与直线AD的距离为

24

5

，
∵

24

5

＞

84

25

，
∴⊙Q与直线AD相离；
②点Q在CD上时，过点Q作QE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，
由勾股定理得CF=

52-( 24 5 )2

=

7

5

，
所以，BE=t-5-

7

5

，
PE=PB+BE=t-5+t-5-

7

5

=2t-

57

5

，
∵tan∠α=

QE

PE

=

24 5

2t- 57 5

=3，
解得t=

13

2

，
此时，DQ=10-t=10-

13

2

=

7

2

，
∴点Q到直线AD的距离为：

7

2

×

24

25

=

84

25

，
∴⊙Q与直线AD相切．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了菱形的性质，勾股定理，锐角三角函数，以及直线与圆的位置关系的判定，（2）难点在于要根据点P和Q的位置分情况讨论，（3）根据∠α的正切列出方程求出t的值是解题的关键．