Question

【题目】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1.点D在BC边上(不与B，C点重合)，作∠ADE＝45°，DE与AC交于点E.

(1)求证：△ABD ∽△DCE；

(2)设BD＝x，请用含x的代数式表示AE；

(3)当BD=1时，求△ADE的面积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求答案；

（3）作DF⊥AC，证得△DFC ∽△BAC，利用对应边成比例求得DF，再根据（2）的结论结合三角形面积公式即可求得答案．

（1）∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC

∴∠B=∠C＝45°

∵∠CDA=∠BAD+∠B=∠CDE+∠ADE，∠ADE=∠B=45°，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△ABD ∽△DCE；

（2）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，

∴BC＝，，

∵△ABD ∽△DCE，BD＝x，

∴，即，

，

；

（3）∵BD，AB＝AC＝1，BC＝，CD，

由(2)得，

过点D作DF⊥AC，垂足为F，如图，

∠DFC＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴DF∥AB，

∴△DFC ∽△BAC，

∴，

∴，

∴．