Question

已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在边BC、AC上，且DF∥AB，过点A平行于BC的直线与DF的延长线交于点E，连结CE、BF．

（1）求证：△ABF≌△ACE；
（2）若D是BC的中点，判断△DCE的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根据平行线的性质可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等边三角形，从而证得结论；（2）直角三角形

试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，再根据平行线的性质可得∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°，即可得到△EAF是等边三角形，从而证得结论；
（2）连接AD．先根据平行四边形的定义证得四边形ABDE是平行四边形，即得AE＝BD，再根据中点的性质可得BD＝DC，再结合AE∥DC可得四边形ADCE是平行四边形，再根据等腰三角形的性质证明即可.
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，AE∥BD，
∴∠EFA＝∠BAC＝60°，∠CAE＝∠ACB＝60°．
∴△EAF是等边三角形．
∴AF＝AE．
在△ABF和△ACE中，
∵AB＝AC，∠BAF＝∠CAE＝60°，AF＝AE，
∴△ABF≌△ACE．   
（2）△DCE是直角三角形，∠DCE＝90°
理由：连接AD．

∵DE∥AB，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AE＝BD．
∵D是BC中点，
∴BD＝DC．
∴AE＝DC．
∵AE∥DC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥DC．
∴四边形ADCE是矩形．
∴△DCE是直角三角形，∠DCE＝90°．
点评：本题知识点较多，综合性较强，是中考常见题，熟练掌握平面图形的基本性质是解题关键.