题目内容
已知:正方形的边长为1,射线与射线交于点,射线与射线交于点,.
(1)如图1,当点在线段上时,试猜想线段、、有怎样的数量关系?并证明你的猜想.
(2)设,,当点在线段上运动时(不包括点、),如图1,求关于的函数解析式,并指出的取值范围.
(3)当点在射线上运动时(不含端点),点在射线上运动.试判断以为圆心以为半径的和以为圆心以为半径的之间的位置关系.
(4)当点在延长线上时,设与交于点,如图2.问△与△能否相似,若能相似,求出的值,若不可能相似,请说明理由.
(1)如图1,当点在线段上时,试猜想线段、、有怎样的数量关系?并证明你的猜想.
(2)设,,当点在线段上运动时(不包括点、),如图1,求关于的函数解析式,并指出的取值范围.
(3)当点在射线上运动时(不含端点),点在射线上运动.试判断以为圆心以为半径的和以为圆心以为半径的之间的位置关系.
(4)当点在延长线上时,设与交于点,如图2.问△与△能否相似,若能相似,求出的值,若不可能相似,请说明理由.
(1),证明见解析 (2) (3)当点在线段上时,与外切;当点在延长线上时,与内切.(4)相似,所求的长为
(1)猜想:. (1分)
证明:将△绕着点按顺时针方向旋转,得△,
易知点、、在一直线上.图1. (1分)
∵,
,
又,
∴△≌△
∴. (1分)
(2)由(1)得
又,,
∴ (1分)
化简可得 . (1+1分)
(3)①当点在点、之间时,由(1)知 ,故此时与外切;(1分)
②当点在点时,,不存在.
③当点在延长线上时,
将△绕着点按顺时针方向旋转,得△,图2.
有,,,
∴.
∴.
又,
∴△≌△. (1分)
∴. (1分)
∴此时与内切. (1分)
综上所述,当点在线段上时,与外切;当点在延长线上时,与内切.
(4)△与△能够相似,只要当即可.
这时有. (1分)
设,,由(3)有
由,得.
化简可得 . (1分)
又由,得,即,化简得, (1分)
解之得,,(不符题意,舍去) (1分)
∴所求的长为.
(1)将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在一直线上.证得AF′E≌△AFE.从而得到EF=F′E=BE+DF;
(2)由(1)得 EF=x+y再根据 CF=1-y,EC=1-x,得到(1-y)2+(1-x)2=(x+y)2.化简即可得到y=(0<x<1).
(3)当点E在点B、C之间时,由(1)知 EF=BE+DF,故此时⊙E与⊙F外切;当点E在点C时,DF=0,⊙F不存在.当点E在BC延长线上时,将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,证得△AF′E≌△AFE.即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD.从而得到此时⊙E与⊙F内切.
(4)△EGF与△EFA能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可.这时有 CF=CE.设BE=x,DF=y,由(3)有EF=x-y.由 CE2+CF2=EF2,得(x-1)2+(1+y)2=(x-y)2.化简可得 y=(x>1).又由 EC=FC,得x-1=1+y,即x-1=1+,化简得x2-2x-1=0,解之即可求得BE的长.
证明:将△绕着点按顺时针方向旋转,得△,
易知点、、在一直线上.图1. (1分)
∵,
,
又,
∴△≌△
∴. (1分)
(2)由(1)得
又,,
∴ (1分)
化简可得 . (1+1分)
(3)①当点在点、之间时,由(1)知 ,故此时与外切;(1分)
②当点在点时,,不存在.
③当点在延长线上时,
将△绕着点按顺时针方向旋转,得△,图2.
有,,,
∴.
∴.
又,
∴△≌△. (1分)
∴. (1分)
∴此时与内切. (1分)
综上所述,当点在线段上时,与外切;当点在延长线上时,与内切.
(4)△与△能够相似,只要当即可.
这时有. (1分)
设,,由(3)有
由,得.
化简可得 . (1分)
又由,得,即,化简得, (1分)
解之得,,(不符题意,舍去) (1分)
∴所求的长为.
(1)将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,易知点F′、B、E在一直线上.证得AF′E≌△AFE.从而得到EF=F′E=BE+DF;
(2)由(1)得 EF=x+y再根据 CF=1-y,EC=1-x,得到(1-y)2+(1-x)2=(x+y)2.化简即可得到y=(0<x<1).
(3)当点E在点B、C之间时,由(1)知 EF=BE+DF,故此时⊙E与⊙F外切;当点E在点C时,DF=0,⊙F不存在.当点E在BC延长线上时,将△ADF绕着点A按顺时针方向旋转90°,得△ABF′,证得△AF′E≌△AFE.即可得到EF=EF′=BE-BF′=BE-FD.从而得到此时⊙E与⊙F内切.
(4)△EGF与△EFA能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可.这时有 CF=CE.设BE=x,DF=y,由(3)有EF=x-y.由 CE2+CF2=EF2,得(x-1)2+(1+y)2=(x-y)2.化简可得 y=(x>1).又由 EC=FC,得x-1=1+y,即x-1=1+,化简得x2-2x-1=0,解之即可求得BE的长.
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