题目内容

二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴只有一个交点；另一个二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m是小于5的整数．
求：（1）n的值；
（2）二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交点的坐标．

解：（1）∵二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴只有一个交点，
∴b²-4ac=1-4（n- $\text{[math]}$ ）=0，
解得：n=1；

（2）将n=1代入二次函数解析式 $\text{[math]}$ 得：
y₂=x²-2（m-1）x+m²-4m+6，
∵二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于两点，
∴b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，
解得：m＞ $\text{[math]}$ ，
∵m是小于5的整数，
∴ $\text{[math]}$ ＜m＜5，
∴m=3或4，
∵二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交点的横坐标都是整数，
∴当m=3时，
y₂=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
与x轴交点坐标为；（1，0），（3，0），
当m=4时，
y₂=x²-6x+6=（x-1）（x-3），
与x轴交点坐标为；（3+ $\text{[math]}$ ，0），（3- $\text{[math]}$ ，0）不合题意舍去，
故二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交点的坐标为：（1，0），（3，0）．
分析：（1）利用抛物线图象与x轴交点个数与△符号的关系得出b²-4ac=0求出即可；
（2）根据（1）中所求以及b²-4ac=[-2（m-1）]²-4（m²-4m+6）＞0，得出m的取值范围，进而利用图象与x轴交点的横坐标都是整数得出m的值，进而得出答案．
点评：此题主要考查了抛物线与x轴交点问题与判别式△的关系和一元二次方程的解法等知识，熟练掌握△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点是解题关键．