题目内容

已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2,若将图象沿y轴方向向上平移3个单位,则图象恰好经过原点,且与x轴两交点间的距离为4,求原二次函数的表达式.
分析:由于新抛物线的图象恰好经过原点,且与x轴两交点间的距离为4,所以先设平移后所得抛物线的解析式为:y=ax2+bx,把x=±4,y=0代入可得,b=±4a,故可用a表示出二次函数的表达式,再把此二次函数向下平移3个单位即可得到原抛物线的解析式,根据一元二次方程根与系数的关系即可求出a的值,进而得到其抛物线的解析式.
解答:解:∵新抛物线的图象恰好经过原点,且与x轴两交点间的距离为4,
∴此抛物线与x轴的交点为:(0,0),(4,0)或(-4,0),
∴设新抛物线的解析式为:y=ax2+bx(a≠0).
①当抛物线过:(0,0),(4,0)时,把x=4,y=0代入得,16a+4b=0,即b=-4a,
∴新抛物线的解析式为:y=ax2-4ax,
∴原抛物线的解析式为:y=ax2-4ax-3,
设原抛物线与x轴的两交点坐标分别为(x1,0),(x2,0)则|x2-x1|=2,
由根与系数的关系可知,x1+x2=4,x1•x2=-
3
a

∴(x2-x12=4,
∴(x2-x12=(x2+x12-4x1•x2
=16-4×(-
3
a

=16+
12
a

∵(x2-x12=4,
∴16+
12
a
=4,解得a=-1,
∴原二次函数的解析式为:y=-x2+4x-3;
②当抛物线过:(0,0),(-4,0)时,把x=-4,y=0代入得,16a-4b=0,即b=4a,
∴新抛物线的解析式为:y=ax2+4ax,
∴原抛物线的解析式为:y=ax2+4ax-3,
同①可得a=-1,
∴原二次函数的解析式为:y=-x2-4x-3.
故答案为:y=-x2+4x-3或y=-x2-4x-3.
点评:本题考查的是二次函数的图象与几何变换,涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及根与系数的关系,根据题意得出a与b之间的关系是解答此题的关键.
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