题目内容
已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为2，若将图象沿y轴方向向上平移3个单位，则图象恰好经过原点，且与x轴两交点间的距离为4，求原二次函数的表达式．分析：由于新抛物线的图象恰好经过原点，且与x轴两交点间的距离为4，所以先设平移后所得抛物线的解析式为：y=ax2+bx，把x=±4，y=0代入可得，b=±4a，故可用a表示出二次函数的表达式，再把此二次函数向下平移3个单位即可得到原抛物线的解析式，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出a的值，进而得到其抛物线的解析式．
解答：解：∵新抛物线的图象恰好经过原点，且与x轴两交点间的距离为4，
∴此抛物线与x轴的交点为：（0，0），（4，0）或（-4，0），
∴设新抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0）．
①当抛物线过：（0，0），（4，0）时，把x=4，y=0代入得，16a+4b=0，即b=-4a，
∴新抛物线的解析式为：y=ax2-4ax，
∴原抛物线的解析式为：y=ax2-4ax-3，
设原抛物线与x轴的两交点坐标分别为（x1，0），（x2，0）则|x2-x1|=2，
由根与系数的关系可知，x1+x2=4，x1•x2=-
，
∴（x2-x1）2=4，
∴（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1•x2
=16-4×（-
）
=16+
，
∵（x2-x1）2=4，
∴16+
=4，解得a=-1，
∴原二次函数的解析式为：y=-x2+4x-3；
②当抛物线过：（0，0），（-4，0）时，把x=-4，y=0代入得，16a-4b=0，即b=4a，
∴新抛物线的解析式为：y=ax2+4ax，
∴原抛物线的解析式为：y=ax2+4ax-3，
同①可得a=-1，
∴原二次函数的解析式为：y=-x2-4x-3．
故答案为：y=-x2+4x-3或y=-x2-4x-3．
∴此抛物线与x轴的交点为：（0，0），（4，0）或（-4，0），
∴设新抛物线的解析式为：y=ax2+bx（a≠0）．
①当抛物线过：（0，0），（4，0）时，把x=4，y=0代入得，16a+4b=0，即b=-4a，
∴新抛物线的解析式为：y=ax2-4ax，
∴原抛物线的解析式为：y=ax2-4ax-3，
设原抛物线与x轴的两交点坐标分别为（x1，0），（x2，0）则|x2-x1|=2，
由根与系数的关系可知，x1+x2=4，x1•x2=-
| 3 |
| a |
∴（x2-x1）2=4，
∴（x2-x1）2=（x2+x1）2-4x1•x2
=16-4×（-
| 3 |
| a |
=16+
| 12 |
| a |
∵（x2-x1）2=4，
∴16+
| 12 |
| a |
∴原二次函数的解析式为：y=-x2+4x-3；
②当抛物线过：（0，0），（-4，0）时，把x=-4，y=0代入得，16a-4b=0，即b=4a，
∴新抛物线的解析式为：y=ax2+4ax，
∴原抛物线的解析式为：y=ax2+4ax-3，
同①可得a=-1，
∴原二次函数的解析式为：y=-x2-4x-3．
故答案为：y=-x2+4x-3或y=-x2-4x-3．
点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及根与系数的关系，根据题意得出a与b之间的关系是解答此题的关键．
练习册系列答案
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已知二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，a），与x轴的交点坐标为（b，0）和（-b，0），若a＞0，则函数解析式为（ ）
A、y=
| ||
B、y=-
| ||
C、y=-
| ||
D、y=
|
已知二次函数的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），且与直线y=kx-4交y轴于点C．