Question

【题目】如图，四边形ABCD为正方形，H是AD上任意一点，连接CH，过B作BM⊥CH于M，交AC于F，过D作DE∥BM交AC于E，交CH于G，在线段BF上作PF=DG，连接PG，BE，其中PG交AC于N点，K为BE上一点，连接PK，KG，若∠BPK=∠GPK，CG=12，KP：EF=3：5，求 的值为__．

Answer 1

【答案】

【解析】分析: 连接DF，构建菱形EBFD和平行四边形GPFD，证明KP∥EF，得△BPK∽△BFE，列比例式为PK：EF=BP：BF=3：5，设BP=3x，BF=5x，则PF=CM=DG=2x，EG=3x，根据BM=12列方程解出x的值，计算EG的长；设AC与KG交于点O，过K作KP⊥AC于P，过G作GQ⊥AC于Q，则KP∥GQ，根据同角的三角函数求KP、GQ、OP、OQ的长，证明△KPO∽△GQO，根据相似比为2：3分别求OK、OG的长，并相加即可得KG的长，最后计算比值即可．

详解: 连接DF，

∵四边形ABCD为正方形，

∴BC=CD，∠BCD=90°，

∴∠BCM+∠MCD=90°，

∵BM⊥CH，

∴∠BMC=90°，

∴∠BCM+∠MBC=90°，

∴∠MCD=∠MBC，

∵DE∥BM，

∴∠DGC=∠BMG=90°，

∴∠DGC=∠BMC=90°，

∴△BMC≌△CGD，

∴BM=CG=12，CM=DG，

∵PF=DG，

∴PF=DG=CM，

在△ABE和△ADE中，

∵AB=AD，

∠BAE=∠DAE=45°，

AE=AE，

∴△ABE≌△ADE（SAS），

∴BE=ED，∠AEB=∠AED，

∴∠BEF=∠FED，

∵DE∥BM，

∴∠DEF=∠EFB，

∴∠BEF=∠EFB，

∴BE=BF，

∴BE=BF=ED，

∴四边形EBFD是菱形，

∴∠BFE=∠EFD，

∴GD=PF，GD∥PF，

∴四边形GPFD是平行四边形，

∴GP∥DF，

∴∠BPG=∠BFD，

∵∠BPK=∠KPG，

∴2∠BPK=2∠BFE，

∴∠BPK=∠BFE，

∴PK∥EF，

∴△BPK∽△BFE，

∴PK：EF=BP：BF=3：5，

设BP=3x，BF=5x，则PF=CM=DG=2x，EG=3x，

∵FM∥DE，

∴△CFM∽△CEG，

∴FM：EG=CM：CG，

∴FM：3x=2x：12，

∴FM=，

∵BM=12，

∴BF+FM=12，

5x+=12，

解得：x1=2，x2=-12（舍），

∴EG=3x=6；FM==2，CM=2x=4，

∵∠BKP=∠BPK，

∴BK=BP=3x=6，

∵BF=5x=10，

∴EK=10-6=4，

设AC与KG交于点O，过K作KP⊥AC于P，过G作GQ⊥AC于Q，则KP∥GQ，

∵∠BEF=∠DEF，

∴EK：EG=OK：OG=4：6=2：3，

∵∠BEF=∠BFE=∠CFM，

∴tan∠BEF=tan∠CFM=CM：FM=KP：EP=4：2=2，

∵EK=4，

∴KP=，EP=，

同理得：GQ=，EQ=，

∴PQ=EQ-EP=-=，

∵KP∥GQ，

∴△KPO∽△GQO，

∴OPOQ=OKOG=23，

∴OPPQ=，

∴OP=×PQ=×=，

由勾股定理得：OK===，

∴OG=，

∴KG=OK+OG=，

∴；

故答案为：．