题目内容
已知抛物线
的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，
），若AM∥BC，求抛物线的解析式．
的顶点为P，与x轴的正半轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线．设M（0，），若AM∥BC，求抛物线的解析式．解：∵抛物线
中，
a′=﹣
，b′=b，c′=c，
∴点P的横坐标为：﹣
=3b，纵坐标为：
=
b2+c，
∴点P的坐标为
，
令x=0，则y=c，
∴点C（0，c），
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为（3b，m）．
显然，x1，x2是一元二次方程
的两根，
∴
，
，
又∵AB的中点E的坐标为（3b，0），
∴AE=
．
∵PA为⊙D的切线，
∴PA⊥AD，
又∵AE⊥PD，
∴由射影定理可得 AE2=PE
DE，即
，
又易知m＜0，
∴可得m=﹣6，
又∵DA=DC得 DA2=DC2，即
，
把m=﹣6代入后可解得c=﹣6（另一解c=0舍去）．
又∵AM∥BC，
∴
，即
．…
把c=﹣6代入，解得
，（另一解
舍去）．
∴抛物线的解析式为
．
中，a′=﹣
，b′=b，c′=c，∴点P的横坐标为：﹣
=3b，纵坐标为：=b2+c，∴点P的坐标为
，令x=0，则y=c，
∴点C（0，c），
设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为（3b，m）．
显然，x1，x2是一元二次方程
的两根，∴
，，又∵AB的中点E的坐标为（3b，0），
∴AE=
．∵PA为⊙D的切线，
∴PA⊥AD，
又∵AE⊥PD，
∴由射影定理可得 AE2=PE
DE，即，又易知m＜0，
∴可得m=﹣6，
又∵DA=DC得 DA2=DC2，即
，把m=﹣6代入后可解得c=﹣6（另一解c=0舍去）．
又∵AM∥BC，
∴
，即．…把c=﹣6代入，解得
，（另一解舍去）．∴抛物线的解析式为
．
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黄冈冠军课课练系列答案
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