题目内容
【题目】如图,在中,过点
作
,垂足为点
,过点
分别作
,
,垂足分别为
.连接
交线段
于点
.
(1)在图一中,
,
,有几组相似的三角形,请写出来;
(2)在图二中,证明:;
(3)如果,
,试求
的值.
【答案】(1)三组;(2)证明见解析;(3)4.
【解析】
(1)根据对应角相等即可得到三组相似三角形;(2)根据(1)即可得到△CDE∽△CAD,得到,同理可知
,所以
;(3)根据垂直关系得到C、E、D、F四点共圆,即可得到答案.
(1)∵,
,
∴,
∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CAD,
∵∠A=∠A,
∴△DAE∽△CAD,
∴△CDE∽△DAE,
故有三组相似三角形,它们是:△CDE∽△CAD, △DAE∽△CAD, △CDE∽△DAE;
(2)由(1)可得△CDE∽△CAD,
∴,即
,
同理可得,即
,
∴;
(3)∵,
,
∴OD=,
∵,
,
∴∠CED=∠CFD=,
∴C、E、D、F四点共圆,
∴∠CDE=∠CFE,∠DEF=∠DCF,
∴△ODE∽△OFC,
∴,
∴.

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