题目内容

【题目】如图,在中,过点,垂足为点,过点分别作,垂足分别为.连接交线段于点.

1)在图一中,,有几组相似的三角形,请写出来;

2)在图二中,证明:

3)如果,试求的值.

【答案】(1)三组;(2)证明见解析;(3)4.

【解析】

(1)根据对应角相等即可得到三组相似三角形;(2)根据(1)即可得到△CDE∽△CAD,得到,同理可知,所以;(3)根据垂直关系得到CEDF四点共圆,即可得到答案.

1)∵, ,

,

∵∠C=∠C,

∴△CDE∽△CAD,

∵∠A=∠A,

∴△DAE∽△CAD,

∴△CDE∽△DAE,

故有三组相似三角形,它们是:△CDE∽△CAD, △DAE∽△CAD, △CDE∽△DAE;

(2)由(1)可得△CDE∽△CAD,

,即,

同理可得,,

;

(3)∵

∴OD=,

,,

∴∠CED=∠CFD=,

∴C、E、D、F四点共圆,

∴∠CDE=∠CFE,∠DEF=∠DCF,

∴△ODE∽△OFC,

,

.

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