Question

【题目】如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4．点P是△ABC内的一点，连接PC，以PC为直角边在PC的右上方作等腰直角三角形PCD．连接AD，若AD∥BC，且四边形ABCD的面积为12，则BP的长为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，作PF⊥BC于点F，延长FP交AD于点E，
∵AD∥BC，
∴∠PFC=∠DEP=90°，
∴∠CPF+∠PCF=90°，
∵∠DPC=90°，
∴∠CPF+∠DPE=90°，
∴∠PCF=∠DPE，
在△PCF和△DPE中，
∵ ，
∴△PCF≌△DPE（AAS），
∴PF=DE、PE=CF，
设PF=DE=x，则PE=CF=4﹣x，
∵S四边形ABCD= （AD+BC）AB=12，
∴ ×（AD+4）×4=12，解得AD=2，
∴AE=BF=2﹣x，
∴FC=BC﹣BF=4﹣（2﹣x）=2+x，
可得2+x=4﹣x，解得x=1，
∴BP= = ，
所以答案是： ．
【考点精析】掌握等腰直角三角形是解答本题的根本，需要知道等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°．