Question

如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C₁与经过点A、D、B的抛物线的一部分C₂组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C₂：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．

Answer 1

解：（1）令y=0，则 ， 
∵m＜0，∴，解得：，。
∴A（，0）、B（3，0）。
（2）存在。理由如下：
∵设抛物线C₁的表达式为（），
把C（0，）代入可得，。    
∴Ｃ₁的表达式为：，即。    
设P（p，），
∴ S_△PBC = S_△POC + S_△BOP –S_△BOC =。
∵<0，∴当时,S_△PBC最大值为。
（3）由C₂可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD²=，BM²=，DM²=。
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM²+ DM²= BD²，即＋=，
解得：,  (舍去)。 
当∠BDM=90°时，BD²+ DM²= BM²，即＋=，
解得：， (舍去) 。  
综上所述， 或时，△BDM为直角三角形。

解析