Question

【题目】模型建立：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．

（1）求证：△BEC≌△CDA；

（2）模型应用：

①已知直线l1：y＝－x－4与y轴交于A点，将直线l1绕着A点逆时针旋转45°至l2，如图2，求l2的函数解析式；

②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，－6），A、C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，设PC＝m，已知点D在第四象限，且是直线y＝－2x＋6上的一点，若△APD是不以点A为直角顶点的等腰Rt△，请求出点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①y=x-4，②（4，-2），（），（）.

【解析】

试题分析：（1）由AAS定理可证△ACD≌△CBE；（2）过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，则△ABC为等腰Rt△，由（1）可知△CBD≌△BAO，由全等三角形的性质得出C点坐标，利用待定系数法求出直线l2的函数解析式即可；（3）当点D为直角顶点，分点D在矩形AOCB的内部与外部两种情况；点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部，由此可得出结论．

试题解析：（1）证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∴CB＝CA，又∵AD⊥CD，BE⊥EC，∴∠D＝∠E＝90°，∠ACD＋∠BCE＝180°－90°＝90°，又∵∠EBC＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠EBC，在△ACD与△CBE中，，∴△ACD≌△EBC（AAS）.（2）解：如图1，过点B作BC⊥AB于点B，交l2于点C，过C作CD⊥x轴于D，∵∠BAC＝45°，∴△ABC为等腰Rt△，由（1）可知：△CBD≌△BAO，∴BD＝AO，CD＝OB，∵直线l1：y＝－x－4，∴A（0，－4），B（－3，0），∴BD＝AO＝4．CD＝OB＝3，∴OD＝4＋3＝7，∴C（－7，－3），设l2的解析式为y＝kx＋b（k≠0），∴∴ .

∴l2的解析式：y＝－x－4.

（3）当点D位于直线y=2x-6上时，分两种情况：如图2，①点D为直角顶点，分两种情况：当点D在矩形AOCB的内部时，过D作x轴的平行线EF，交直线OA于E，交直线BC于F，设D（x，2x-6）；则OE=2x-6，AE=6-（2x-6）=12-2x，DF=EF-DE=8-x；则△ADE≌△DPF，得DF=AE，即：12-2x=8-x，x=4；∴D（4，2）；

当点D在矩形AOCB的外部时，设D（x，2x-6）；则OE=2x-6，AE=OE-OA=2x-6-6=2x-12，DF=EF-DE=8-x；

同1可知：△ADE≌△DPF，∴AE=DF，即：2x-12=8-x， x=，∴D（）

②点P为直角顶点，显然此时点D位于矩形AOCB的外部；设点D（x，2x-6），则CF=2x-6，BF=2x-6-6=2x-12；

同（1）可得，△APB≌△BDF，∴AB=PF=8，PB=DF=x-8；∴BF=PF-PB=8-（x-8）=16-x；联立两个表示BF的式子可得：2x-12=16-x，即x=，∴D（）.

综上所述，点D坐标为（4，-2）或（）或（）.