题目内容
已知:如图,点O2是⊙O1上一点,⊙O2与⊙O1相交于A、D两点,BC⊥AD,垂足为D,分别交⊙O1、⊙O2于B、C两点,延长DO2交⊙O2于E,交BA延长线于F,BO2交AD于G,连接AD.
(1)求证:∠BGD=∠C;
(2)若∠DO2C=45°,求证:AD=AF;
(3)若BF=6CD,且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根,求BD、BF的长.
(1)求证:∠BGD=∠C;
(2)若∠DO2C=45°,求证:AD=AF;
(3)若BF=6CD,且线段BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根,求BD、BF的长.
(1)证明:∵BC⊥AD于D,
∴∠BDA=∠CDA=90°,
∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径,
∵∠2=∠3,∠BGD+∠2=90°,∠C+∠3=90°,
∴∠BGD=∠C;
(2)证明:∵∠DO2C=45°,
∴∠ABD=45°,
∵O2D=O2C,
∴∠C=∠O2DC=
(180-∠DO2C)=67.5°,
∴∠4=22.5°,
∵∠O2DC=∠ABD+∠F,
∴∠F=∠4=22.5°,
∴AD=AF;
(3)∵BF=6CD,
∴设CD=k,则BF=6k,
连接AE,则AE⊥AD,
∴AE∥BC,
∴△FAE∽△FBD,
∴
=
,
∴AE•BF=BD•AF,
又∵在△AO2E和△DO2C中,AO=DO2,∠AOE=∠DOC,O2E=O2C,
∴△AO2E≌△DO2C,
∴AE=CD=k,
∴6k2=BD•AF=(BC-CD)(BF-AB),
∵∠BO2A=90°,O2A=O2C,
∴BC=AB,
∴6k2=(BC-k)(6k-BC),
∴BC2-7kBC+12k2=0,
解得:BC=3k,或BC=4k,
当BC=3k时,BD=2k,
∵BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根,
∴由根与系数的关系知:BD+BF=2k+6k=8k=4m+2,BD•BF=12k2=4m2+8,
∴k=
+
,
把BD=2k代入方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0可得,4m2-12m+29=0,
∵△=(-12)2-4×4×29=-320<0,此方程无实数根,
∴BC=3k舍去,
当BC=4k时,BD=3k,
∴3k+6k=4m+218k2=4m2+8,
整理,得:m2-8m+16=0,解得:m1=m2=4,
∴原方程可化为x2-18x+72=0,
解得:x1=6,x2=12,
∴BD=6,BF=12.
∴∠BDA=∠CDA=90°,
∴AB、AC分别为⊙O1、⊙O2的直径,
∵∠2=∠3,∠BGD+∠2=90°,∠C+∠3=90°,
∴∠BGD=∠C;
(2)证明:∵∠DO2C=45°,
∴∠ABD=45°,
∵O2D=O2C,
∴∠C=∠O2DC=
1 |
2 |
∴∠4=22.5°,
∵∠O2DC=∠ABD+∠F,
∴∠F=∠4=22.5°,
∴AD=AF;
(3)∵BF=6CD,
∴设CD=k,则BF=6k,
连接AE,则AE⊥AD,
∴AE∥BC,
∴△FAE∽△FBD,
∴
AE |
BD |
AF |
BF |
∴AE•BF=BD•AF,
又∵在△AO2E和△DO2C中,AO=DO2,∠AOE=∠DOC,O2E=O2C,
∴△AO2E≌△DO2C,
∴AE=CD=k,
∴6k2=BD•AF=(BC-CD)(BF-AB),
∵∠BO2A=90°,O2A=O2C,
∴BC=AB,
∴6k2=(BC-k)(6k-BC),
∴BC2-7kBC+12k2=0,
解得:BC=3k,或BC=4k,
当BC=3k时,BD=2k,
∵BD、BF的长是关于x的方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0的两个实数根,
∴由根与系数的关系知:BD+BF=2k+6k=8k=4m+2,BD•BF=12k2=4m2+8,
∴k=
m |
2 |
1 |
4 |
把BD=2k代入方程x2-(4m+2)x+4m2+8=0可得,4m2-12m+29=0,
∵△=(-12)2-4×4×29=-320<0,此方程无实数根,
∴BC=3k舍去,
当BC=4k时,BD=3k,
∴3k+6k=4m+218k2=4m2+8,
整理,得:m2-8m+16=0,解得:m1=m2=4,
∴原方程可化为x2-18x+72=0,
解得:x1=6,x2=12,
∴BD=6,BF=12.
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