题目内容

已知两个全等的直角三角形纸片ABC、DEF,如图(1)放置,点B、D重合,点F在BC上,AB与EF交于点G、∠C=∠EFB=90°,∠E=∠ABC=30°,AB=DE=4.
(1)求证:△EGB是等腰三角形;
(2)若纸片DEF不动,问△ABC绕点F逆时针旋转最小______度时,四边形ACDE成为以ED为底的梯形(如图(2)).求此梯形的高.
(1)证明:∵∠C=∠EFB=90°,∠E=∠ABC=30°,
∴∠EBF=60°,
∴∠EBG=∠EBF-∠ABC=60°-30°=∠E.
∴GE=GB,
则△EGB是等腰三角形;

(2)要使四边形ACDE成为以ED为底的梯形,
则需BC⊥DE,即可求得∠BFD=30°.
设BC与DE的交点是H.
在直角三角形DFE中,∠FDH=60°,DF=
1
2
DE=2,
在直角三角形DFH中,FH=DF•cos∠BFD=2×cos30°=2×
3
2
=
3

则CH=BC-BH=AB•cos∠ABC-(BF-FH)=2
3
-(2-
3
)=3
3
-2.
即此梯形的高是3
3
-2.
故答案为:3
3
-2.
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