题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=4时，y的值相等，直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值，并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。
解：（1）∵当x=0和x=4时，y的值相等，
∴c=16a+4b+c，
∴b=-4a，
∴，
将x=3代入y=4x-16，得y=-4，
将x=2代入y=4x-16，得y=-8，
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）2-8，
将点（3，-4）代入，得-4=a（x-2）2-8，解得a=4，
∴抛物线y=4（x-2）2-8，即y=4x2-16x+8；
（2）设直线OM的解析式为y=kx，将点M（2，-8）代入，得k=-4，
∴y=-4x，
则点P（t-4t），PQ=4t，而PC=8，OQ=t，
S=S△COQ+S△OPQ=×8×t+×t×4t=2t2+4t，
t的取值范围为：0＜t≤2；
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值，
从图象可看出，随着点P由O→M运动，△COQ的面积与△OPQ的面积在不断增大，即S不断变大，显当然点P运动到点M时，S最值，
此时t=2时，点Q在线段AB的中点上，
因而S=×2×8+×2×8=16，
当t=2时，OC=MQ=8，OC∥MQ，
∴四边形PQCO是平行四边形；
 （4）随着点P的运动，存在t=，能满足PO=OC，
设点P（t，-4t），PQ=4T，OQ=t，
由勾股定理，得OP2=（4t）2+t2=17t2，
∵PO=OC，
∴17t2=82，，（不合题意）
∴当时，PO=OC。
练习册系列答案
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8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）
如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
1
2
，
9
8
），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
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（1）求该抛物线的解析式；
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