Question

10．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
（1）请判断线段AE和BD的数量关系和位置关系，并证明；
（2）若已知∠AED=135°，设∠AEC=α，当△BDE为等腰三角形时，求α的度数．

Answer 1

分析 （1）根据△ACD和△BCE都是等腰直角三角形、∠ACD=∠BCE=90°，即可得出AC=DC、EC=BC，再由角的计算即可得出∠ACE=∠DCB，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ACE≌△DCB，进而可得出AE=DB．延长AE，交CD于点H，交BD于点F，根据角的计算即可得出∠DFH=∠ACD=90°，从而找出AE⊥BD；
（2）根据△BCE是等腰直角三角形即可得出∠CEB=∠CBE=45°，结合∠AED=135°、∠AEC=α即可找出∠DEB=180°-α，由（1）△ACE≌△DCB可得出∠DBC=∠AEC=α，进而得出∠DBE=α-45°，再根据三角形内角和定理即可得出∠EDB=45°，分∠DEB=∠DBE、∠DEB=∠EDB以及∠DBE=∠EDB三种情况考虑△BDE为等腰三角形，代入数据求出α值，此题得解．

解答 解：（1）AE=BD且AE⊥BD，理由如下：
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，
∴AC=DC，EC=BC．
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD=90°，∠BCE=∠DCB+∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{EC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB．
延长AE，交CD于点H，交BD于点F，如图1所示．
∵∠AHD=∠CHF=∠CDB+∠DFH，∠AHD=∠CAE+∠ACD，
∴∠DFH=∠ACD=90°，
∴AE⊥BD．
（2）∵△BCE是等腰直角三角形，∠BCE=90°，
∴∠CEB=∠CBE=45°，
∵∠AED=135°，∠AEC=α，
∴∠DEB=360°-∠AED-∠CEB-∠AEC=360°-135°-45°-α=180°-α．
∵△ACE≌△DCB，
∴∠DBC=∠AEC=α，
∴∠DBE=α-45°．
在△DBE中，∠EDB=180°-∠DEB-∠DBE=180°-（180°-α）-（α-45°）=45°．
△BDE为等腰三角形分三种情况：
①∠DEB=∠DBE，即180°-α=α-45°，
∴α=112.5°；
②∠DEB=∠EDB，即180°-α=45°，
∴α=135°；
③∠DBE=∠EDB，即α-45°=45°，
∴α=90°．
综上所述：当△BDE为等腰三角形时，α的度数为112.5°、135°或90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．