题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,∠AOC的平分线交AB于点D,E为BC的中点,已知A(0,4)、C(5,0),二次函数 的图象抛物线经过A、C两点.

(1)求该二次函数的表达式;
(2)F,G分别为x轴、y轴上的动点,首尾顺次连接D、E、F、G构成四边形DEFG,求四边形DEFG周长的最小值;
(3)抛物线上是否存在点P,使△ODP的面积为8?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)∵二次函数 的图象经过A(0,4)、C(5,0)两点,
解得
∴二次函数的解析式为
(2)∵四边形OABC为矩形,
∴∠BAO=∠AOC=90°,AB=OC=5,BC=OA=4,
∴B(5,4),
∵E为BC中点,
∴E(5,2),
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠DOC=45°,
∴∠ADO=∠AOD=45°,
∴AD=OA=4,
∴D(4,4),
∴DE=
作D关于y轴的对称点D′,作E关于x轴的对称点E′,连接D′G、E′F,如下图所示:

则D′(-4,4),E′(5,-2),且D′G=DG,E′F=EF,
∵在 E′BD′中,∠E′BD′=90°,BD′=5-(-4)=9,E′B=4-(-2)=6,
∴E′D′=
∵四边形DEFG的周长=DE+EF+FG+GD=DE+ E′F+FG+ GD′≥DE+ E′D′,
∴四边形DEFG的周长最小值为DE+ E′D′,
∴四边形DEFG周长的最小值是
(3)解:∵点D的坐标是(4,4),
∴OD=
又∵使△ODP的面积为8,
∴点P到直线OD的距离为
过点O作OF⊥OD,取OF= ,过点F作直线FG∥OD,交抛物线与点P1,P2,则,∠OFG=90°,如图所示:

∵∠DOC=45°(已求),
∴∠COF=∠FOG=45°,
在直角 中,OF=
∴OG= =4,
∴直线GF的解析式为y=x-4,
把y=x-4代入 中,得
解得x1=4,x2=10,
把x1=4,x2=10代入y=x-4中,得y1=0,y2=6,
∴P1(4,0),P2(10,6),
过点O作OF⊥OD,取OF= ,过点F作直线FG交抛物线与P3,P4,如下图所示:

∵∠DOC=45°(已求),
∴∠DOA=∠AOF=∠GOF=45°,
在直角 中,OF=
∴OG= =4,
∴直线GF的解析式为y=x+4,
把y=x+4代入 中,得
解得x1=0,x2=14,
把x1=0,x2=14代入y=x+4中,得y1=4,y2=18,
∴P1(0,4),P2(14,18),
所以综合上述可得,P1(4,0) 、 P2(10,6) 、P3(0,4) 、 P4(14,18)
【解析】(1)把A、C坐标代入解析式,解方程组,即可求出解析式;(2)利用对称法,做出D关于y轴的对称点D′,作E关于x轴的对称点E′,当D'、E'、F、G四点共线时,周长最小;(3)以OD为底边,使△ODP的面积为8,则点P到直线OD的距离为 2 ,在OD两侧作平行于OD的直线,使直线与直线OD的距离为 2 ,与抛物线交于4个点,解方程组,求出坐标.

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