题目内容

【题目】如图,在ABCD中,对角线BD平分∠ABC,过点AAEBD,交CD的延长线于点E,过点EEFBC,交BC延长线于点F

1)求证:四边形ABCD是菱形;

2)若∠ABC45°BC2,求EF的长.

【答案】1)证明见解析;(2)EF=.

【解析】

1)证明∠ADB=ABD,得出AB=AD,即可得出结论;
2)由菱形的性质得出AB=CD=BC=2,证明四边形ABDE是平行四边形,ECF=ABC=45°,得出AB=DE=2,CE=CD+DE=4,RtCEF,由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出EF的长.

(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

ADBC,AB=CD,ABCD,

∴∠ADB=CBD,

BD平分∠ABC,

∴∠ABD=CBD,

∴∠ADB=ABD,

AB=AD,

∴平行四边形ABCD是菱形;

(2)∵四边形ABCD是菱形,

AB=CD=BC=2,

ABCD,AEBD,

∴四边形ABDE是平行四边形,ECF=ABC=45°,

AB=DE=2,

CE=CD+DE=4,

EFBC,ECF=45°,

∴△CEF是等腰直角三角形,

EF=CF= .

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