Question

如图，一次函数y=ax+b与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数y=相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF．有下列四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④AC=BD．其中正确的结论个数是（　　）

A．1                     B．2                     C．3                     D．4

Answer 1

C

试题分析：设D（x，），得出F（x，0），根据三角形的面积求出△DEF的面积，同法求出△CEF的面积，即可判断①；根据面积相等，推出边EF上的高相等，推出CD∥EF，根据相似三角形的判定判断②即可；根据全等三角形的判定判断③即可；证出平行四边形BDFE和平行四边形ACEF，推出△ACF和△BDE的面积相等，根据三角形的面积公式推出BD=AC即可．
解：①设D（x，），则F（x，0），
由图象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面积是××x=k，
同理可知：△CEF的面积是k，
∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴①正确；
②即△CEF和△DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等，
∴EF∥CD，
即AB∥EF，
∴△AOB∽△FOE，∴②正确；
③条件不足，无法证出两三角形全等的条件，∴③错误；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四边形BDFE是平行四边形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，∴④正确；
正确的有3个，
故选C．
点评：本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积，全等三角形的判定，相似三角形的判定等知识点的运用，关键是检查学生综合运用定理进行推理的能力，题目具有一定的代表性，有一定的难度，是一道比较容易出错的题目．