题目内容
【题目】给出如下规定：对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为N上任一点，如果P，Q两点间的距离存在最小值时，就称该最小值为两个图形M和N之间的“闭距离”；如果P，Q两点间的距离存在最大值时，就称该最大值为两个图形M和N之间的“开距离”．
请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下面问题：
在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣6，8），B（﹣6，﹣8），C（6，﹣8），D（6，8）．
（1）请在平面直角坐标系中画出四边形ABCD，线段AB和线段CD的“闭距离”为 ；“开距离”为 ；
（2）设直线y＝﹣
x+b（b＞0）与x轴，y轴分别交于点E，F，若线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，求它们的“开距离”；
（3）⊙M的圆心为M（m，﹣6），半径为1，若⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）12，20；（2）2
或2
或2
；（3）当m＝﹣8或6+
或﹣4≤m≤6﹣3时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1．
【解析】
（1）由点的坐标画出图形，由“闭距离”和“开距离”的定义可求解；
（2）分四种情况讨论，求出点E，点F坐标，即可解；
（3）分点M在y轴左侧和右侧讨论，找到特殊点，即可求解．
解：（1）如图所示：
∴线段AB和线段CD的“闭距离”为12，“开距离”＝
，
故答案为：12，20；
（2）∵线段EF与四边形ABCD的“闭距离”是2，
∴点E坐标为（4，0）或点E（8，0）或点F（0，6）或点F（0，10）
当点E坐标为（4，0）时，
∴0＝﹣
×4+b，
∴b＝3，
∴点F（0，3），
∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝
，
当点E坐标为（8，0）时，
∴0＝﹣×8+b，
∴b＝6，
∴点F（0，6），
∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝
，
当点F坐标为（0，6）时，
∴b＝6，
∴y＝﹣x+6，
∴点E（8，0），
∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝，
当点F坐标为（0，10）时，
∴b＝10，
∴y＝﹣x+10，
∴点E（
，0）
∴线段EF与四边形ABCD的“开距离”＝
，
（3）如图，设直线y＝﹣6与AB交于点N，交AC于点E，
∵M（m，﹣6），半径为1，
∴当点M在y轴左侧时，MN＝2时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，
∴m＝﹣8或﹣4，
当点M在y轴右侧时，ME＝2时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1，
∴m＝6+或6﹣3，
∴当m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3时，⊙M与△ABC的“闭距离”等于1．
