Question

（2013•贵港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出点M的坐标，然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，作辅助线构造梯形，利用S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE求出S关于x的表达式；求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围；
（3）由于三角形的各边，只有OD=2是确定长度的，因此可以以OD为基准进行分类讨论：
①OD=OP．因为第一象限内点P到原点的距离均大于4，因此OP≠OD，此种情形排除；
②OD=OE．分析可知，只有如答图2所示的情形成立；
③OD=PE．分析可知，只有如答图3所示的情形成立．

解答：解：（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴顶点M坐标为（2，6）．
设抛物线解析式为：y=a（x-2）²+6，
∵点C（0，4）在抛物线上，
∴4=4a+6，
解得a=-

1

2

．
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

（x-2）²+6=-

1

2

x²+2x+4．

（2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E．

∵P（x，y），且点P在第一象限，
∴PE=y，OE=x，
∴DE=OE-OD=x-2．
S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE
=

1

2

（4+y）•x-

1

2

×2×4-

1

2

（x-2）•y
=y+2x-4．
将y=-

1

2

x²+2x+4代入上式得：S=-

1

2

x²+2x+4+2x-4=-

1

2

x²+4x．
在抛物线解析式y=-

1

2

x²+2x+4中，令y=0，即-

1

2

x²+2x+4=0，解得x=2±2

3

．
设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2+2

3

，0），
∴0＜x＜2+2

3

．
∴S关于x的函数关系式为：S=-

1

2

x²+4x（0＜x＜2+2

3

）．

（3）存在．
若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形：
（I）OD=OP．
由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在．
（II）OD=OE．
若点E在y轴正半轴上，如答图2所示：

此时△OPD≌△OPE，
∴∠OPD=∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上，
∴直线PO的解析式为：y=x；
若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在．
（III）OD=PE．
∵OD=2，
∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2，
则点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合．
若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等；
若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形，

∴直线PE的解析式为：y=6．
综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为y=6．

点评：本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、全等三角形、图形面积计算等知识点．难点在于第（3）问，两个三角形中只有一边为定长，因此分类讨论稍显复杂，需要仔细分析．