题目内容
【题目】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC ， 使∠BOC=135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方.
（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图1所示，此时∠BOM=；在图1中，OM是否平分∠CON？请说明理由；
（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示,使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为（直接写出结果）.
【答案】
（1）90°；解：OM平分∠CON，理由如下：
∵∠BOC=135°，∠BOM=90°，
∴∠COM=45°，
又∵∠NOM=45°，
∴OM平分∠CON
（2）
解：∠AOM=∠CON，理由如下：
∵∠MON=45°
∴∠AOM=45°-∠AON
∵∠AOC=180-135=45°
∴∠NOC=45°-AON
∴∠AOM=∠CON
（3）4.5秒或31.5秒
【解析】解：（3）第一种情况，如图4，当ON在∠AOC外部时：
图4
由ON平分∠AOC，可得∠BON=22.5°，
因此三角板绕点O逆时针旋转22.5°，
此时，三角板的运动时间为：t=22.5°
5°=4.5（秒）.
第二种情况，如图5，当ON在∠AOC内部时：
图5
由ON平分∠AOC，可得∠AON=22.5°，
因此三角板绕点O逆时针旋转157.5°，
此时，三角板的运动时间为：t=157.5°5°=31.5（秒）.
所以答案是：4.5秒或31.5秒.
【考点精析】本题主要考查了角的平分线和角的运算的相关知识点，需要掌握从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；角之间可以进行加减运算；一个角可以用其他角的和或差来表示才能正确解答此题．
