Question

已知如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于G，连接GF，若AD⊥BD．下列结论：
①DE∥BF；②四边形BEDF是菱形；③FG⊥AB；④S_△BFG=

1

4

S_{四边形ABCD}
其中正确的是

 

．

Answer 1

分析：①根据题意可证明四边形DEBF为平行四边形，继而可判断出此项正确；
②根据①的结论，再结合AD⊥BD，E为边AB的中点得出DE=BE=AE可判断出四边形BEDF是菱形．
③要使FG⊥AB，则BF=BC=BG，而因为得不出BF=BC，即不等得出FG⊥AB．
④S_△BFG=

1

2

S_△FCG，S_△FCG=

1

2

S_{平行四边形ABCD}，可得出结论．

解答：解：①∵在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF故①正确．
②由①知四边形DEBF为平行四边形，
∵AD⊥BD，E为边AB的中点，
∴DE=BE=AE，
∴四边形BEDF是菱形故②正确．
③∵AG∥DB  AD∥BG AD⊥BD
∴AGBD为矩形，
∴AD=BG=BC，
要使FG⊥AB，则BF=BC=BG，
不能证明BF=BC，即FG⊥AB不恒成立，
故③不正确．
④由③知BC=BG
∴S_△BFG=

1

2

S_△FCG，
∵F为CD中点
∴S_△FCG=

1

2

S_{平行四边形ABCD}
∴S_△BFG=

1

4

S平行四边形ABCD
故④正确．
综上可得：①②④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查平行四边形的性质、菱形的性质及判定，还有全等三角形的知识，综合性较强，解答此类题目时要注意由结论推条件，把结论当做已知条件求解．