Question

在△ABC中，AB=AC=5，tanB=．若⊙O的半径为，且⊙O经过点B、C，那么线段OA的长等于　

 

Answer 1

3或5．

【解析】

试题分析：分两种情况考虑：（i）如图1所示，由AB=AC，OB=OC，利用线段垂直平分线逆定理得到AO垂直平分BC，在直角三角形ABD中，由AB及cos∠ABC的值，利用锐角三角函数定义求出BD的长，再利用勾股定理求出AD的长，在直角三角形OBD中，由OB与BD的长，利用勾股定理求出OD的长，由AD+DO即可求出AO的长；（ii）同理由AD-OD即可求出AO的长，综上，得到所有满足题意的AO的长

试题解析：分两种情况考虑：

（i）如图1所示，

∵AB=AC，OB=OC，

∴AO垂直平分BC，

∴OA⊥BC，D为BC的中点，

在Rt△ABD中，AB=5，tan∠ABC=，

设AD=4x，BD=3x，由勾股定理得：（3x）2+（4x）2=52，

x=1，

∴BD=3，AD=4，

在Rt△BDO中，OB==1，BD=3，

则AO=AD+OD=4+1=5；

（ii）如图2所示，AO=AD-OD=4-1=3；

综合上述，OA的长为3或5．

考点：1.垂径定理；2.等腰三角形的性质；3.解直角三角形．