题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=- x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)和B,与y轴交于点C(0,3).

(1)求此抛物线的解析式及点B的坐标;

(2)设抛物线的顶点为D,连接CD、DB、CB、AC.

①求证:△AOC∽△DCB;②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P,使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由;

【答案】(1)(3,0);(2)①见解析, P1(9,0)或P2(0,

【解析】试题分析:(1)由C03)得出抛物线解析式为y=x2+bx+3,将点A的横纵坐标代入解析式求出b,令y=0,解出x即可得点B 的坐标;(2DEy轴交于点E不难求出ACB=DCE=45° DCB=AOC=90°由勾股定理求出CDBC=的长度,不难发现即可证明△AOC∽△DCB分情况讨论:1.以C为顶点的角是90°2.A为顶点的角是90°时,分别求出点P的坐标即可.

试题解析:

解:(1C03),∴抛物线解析式为y=x2+bx+3

A(-10),1b+3=0,解得b=2.

∴抛物线的解析式为:y=x2+2x+3

y=0,则-x2+2x+3=0,解得:x1=1x2=3

∴点B的坐标是(30);

2①证明:作DEy轴交于点E

可求得顶点D14),OA=1OC=OB=3

∴∠OCB=45°DE=1EO=4

EC=1

∴∠DCE=45°

故∠DCB=90°=AOC

由勾股定理求得:CD=BC=3

∴△AOC∽△DCB

②存在符合条件的点P有两个:P190)或P20 .

1.C为顶点的角是90°时,

∵∠ACO+CAO=90°CPO+OCP=90°

∴∠CPO=ACO

∴∠CPO=DBC

∵∠DCB=ACP=90°

∴△PCA∽△BCD

∴∠DBC=APC

tanDBC=tanAPC,即=,

OP=9

P90);

2.A为顶点的角是90°时,

同理可证△AOP∽△BCD

∴∠DBC=PAO

tanDBC=tanPAO,即=

OP=

P0 .

综上可得:存在符合条件的点P有两个:P190)或P20 .

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