题目内容

【题目】如图,△ABC的中线ADBECF相交于点GHI分别是BGCG的中点.

(1)求证:四边形EFHI是平行四边形;

(2)①当ADBC满足条件 时,四边形EFHI是矩形;

②当ADBC满足条件 时,四边形EFHI是菱形.

【答案】(1)证明见解析;(2)①ADBC;②2AD=3BC

【解析】试题分析:(1)证出EFHI分别是ABCBCG的中位线,根据三角形中位线定理可得EFBCEF=BCHIBCPQ=BC,进而可得EFHIEF=HI.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论;

2由三角形中位线定理得出FHAD,再证出EFFH即可;

与三角形重心定理得出AG=AD,证出AG=BC,由三角形中位线定理和添加条件得出FH=EF,即可得出结论.

试题解析:(1)证明:BECFABC的中线,EFABC的中位线,EFBCEF=BC

HI分别是BGCG的中点.,HIBCG的中位线,HIBCHI=BCEFHIEF=HI四边形EFHI是平行四边形.

2)解:ADBC满足条件 ADBC时,四边形EFHI是矩形;理由如下:

同(1)得:FHABG的中位线,FHAGFH=AGFHADEFBCADBCEFFH∴∠EFH=90°四边形EFHI是平行四边形,四边形EFHI是矩形;

故答案为:ADBC

ADBC满足条件BC=AD时,四边形EFHI是菱形;理由如下:

∵△ABC的中线ADBECF相交于点GAG=ADBC=ADAG=BCFH=AGEF=BCFH=EF,又四边形EFHI是平行四边形,四边形EFHI是菱形;

故答案为:2AD=3BC

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