题目内容
【题目】已知□ABCD中，直线m绕点A旋转，直线m不经过B、C、D点，过B、C、D分别作BE⊥m于E， CF⊥m于F， DG⊥m于G．
（1）当直线m旋转到如图1位置时，线段BE、CF、DG之间的数量关系是 _；
（2）当直线m旋转到如图2位置时，线段BE、CF、DG之间的数量关系是 _；
（3）当直线m旋转到如图3的位置时，线段BE、CF、DG之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并加以证明．
【答案】见解析
【解析】解：
（1）如图1，过C作CM⊥DG，交DG的延长线于点M，
∵DM⊥CM，CF⊥AF，CM⊥DG，
∴∠DMC=∠CFG=∠AEB=90°，
∴四边形GFCM为矩形，
∴FG∥CM，FC=GM，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DOG=∠BAE=∠DCM，
在△CDM和△ABE中
∴△CDM≌△ABE（AAS），
∴DM=BE，
∴BE=DG+GM=CF+DG，
故答案为：BE=CF+DG；
（2）如图2，过D作DN⊥CF，交CF于点N，延长CD交AF于点P，
∵DG⊥AF，CF⊥AF，
∴四边形DGFN为矩形，
∴ND∥AF，且DG=NF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，且AB∥CD，
∴∠CDN=∠DPG=∠BAE，
在△CDN和△BAE中
∴△CDN≌△BAE（AAS），
∴CN=BE，
∴CF=CN+DF=BE+DG，
故答案为：CF=BE+DG；
（3）猜想：DG=BE+CF；
证明：如图3，过C作CH⊥DG于H，
又∵CF⊥m，DG⊥m，
∴四边形CFGH是矩形，
∴CF=HG，
∵DG⊥m，BE⊥m，
∴∠DGE=∠BEG=90°，
∴DG∥BE，
∴∠ABE=∠AMG
∵□ABCD，
∴AD∥BC，CD=AB，
∴∠CDH=∠AMG，
∴∠CDH=∠ABE，
在△CDH和△ABE中
∴△CDH≌△ABE（AAS），
∴DH=BE，
∴DG=DH+HG=BE+CF，
∴DG=BE+CF．
