题目内容
【题目】如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点
，与x轴交于点B，
，直线CD与y轴交于点D，与x轴交于点
，
，直线AB与直线CD交于点Q，E为直线CD上一动点，过点E作x轴的垂线，交直线AB于点M，交x轴于点N，连接AE、BE．
求直线AB、CD的解析式及点Q的坐标；
当E点运动到Q点的右侧，且
的面积为
时，在y轴上有一动点P，直线AB上有一动点R，当
的周长最小时，求点P的坐标及周长的最小值．
在问的条件下，如图2将
绕着点B逆时针旋转
得到
，使点M与点G重合，点N与点H重合，再将沿着直线AB平移，记平移中的为
，在平移过程中，设直线
与x轴交于点F，是否存在这样的点F，使得
为等腰三角形？若存在，求出此时点F的坐标；若不存在，说明理由
【答案】（1）点Q坐标为
；（2）
周长的最小值，最小值为
；（3）点F的坐标为
．
【解析】
，直线CD表达式的k值为
，即可求解直线CD的表达式；同理可得直线AB的表达式，联立两个表达式，即可求解点Q的坐标；
，求出点N坐标；作N点的两个对称点
、
，连接
交AB于点R交y轴于点P，此时，周长的最小值，求解即可；
是底角为
的当腰三角形，
为等腰三角形，即可求解．
点
，
，
，直线CD表达式的k值为，
则直线CD的表达式为：
，将点C坐标代入上式并解得：
，
故：直线CD的表达式为：
，
同理可得直线AB的表达式为：
，
，
联立
并解得：
，即点Q坐标为；
如图所示，设点E的坐标为
，则点
，
，
解得：
，即点N坐标为
，点
，
作点N关于直线AB和y轴的对称点、，连接交AB于点R交y轴于点P，
此时，周长的最小值，最小值为：的长度，
，
关于直线AB对称，
，
为边长为3的等边三角形，三角形高为：
，
则点的坐标为
，点
，
则直线的表达式为：
，即点P坐标
，
周长的最小值，最小值为
；
如图2，将
绕着点B逆时针旋转
得到
，
此时
，即点GM关于x轴对称，则点
，
，
图形平移为
时，
，
即
是底角为的等腰三角形，而
为等腰三角形，只能
，
，
，
故点F的坐标为．
