Question

已知在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以点A为圆心，r为半径作⊙A，
（1）当半径r为______时，⊙A与BC相切；
（2）当半径r为______时，⊙A与BD相切；
（3）当半径r的范围为______时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离．

Answer 1

解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=90°，
∴AB⊥BC，AD⊥DC，
（1）∵圆心A到BC边的距离为AB=3，⊙A与BC相切，
∴r=AB=3，
则当半径r为3时，⊙A与BC相切；

（2）连接BD，过A作AE⊥BD，交BD于点E，
∵在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，
∴BD==5，
又S_△ABD=BD•AE=AB•AD，
∴圆心A到BD边的距离AE==2.4，又⊙A与BC相切，
∴r=AE=2.4，
则当半径r为2.4时，⊙A与BD相切；
（3）∵⊙A与直线BC相交，圆心A到BC边的距离为AB=3，
∴r＞3，
又⊙A与直线CD相离，圆心A到BC边的距离为AD=4，
∴r＜4，
则当半径r的范围为3＜r＜4时，⊙A与直线BC相交且与直线CD相离．
故答案为：3；2.4；3＜r＜4
分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个内角为直角，根据垂直的定义得到AB垂直于BC，AD垂直于DC，
（1）由圆A与BC相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，因为AB为圆心A到BC的距离，所以圆A的半径等于AB，进而得到圆A与BC相切时半径的值；
（2）连接BD，过A作AE垂直于BD，AE为A到BD的距离，由圆A与BD相切，得到圆心A到BD的距离等于圆的半径，由三角形ABD为直角三角形，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，根据AB，AD及BD的值，利用三角形的面积两种求法求出AE的长，得出圆心A到BD的距离，即为圆A与BD相切时圆的半径；
（3）由圆A与直线BC相交，得到圆心到直线的距离小于圆的半径，即r大于AB，再由圆A与直线CD相离，得到圆心到直线的距离大于圆的半径，即r小于AD，由AB及AD的长，可得出满足题意r的范围．
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，以及切线的性质，直线与圆的位置关系可以用d与r的大小关系来判定，当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d＞r时，直线与圆相离．