Question

如图，已知在矩形ABCD中，AD=8cm，CD=4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），
（1）求证：△BCF∽△CDE；
（2）求t的取值范围；
（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC=∠BFC？

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定方法：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证明△BCF∽△CDE；
（2）因为当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动，所以可用t表示出此时的DE，BCFD，FC的长，利用相似三角形的性质即可求出t的最大值，进而求出t的取值范围；
（3）因为△BCF∽△CDE利用相似的性质和矩形的性质可证明BC=BE，利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出DE的长，时间t也可求出了．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
∵ED=t，FC=2t，
∴

ED

FC

=

1

2

，
∵AD=8cm，CD=4cm，
∴

DC

BC

=

1

2

，
∴

ED

FC

=

DC

BC

，
∴△BCF∽△CDE；

（2）已知如图：
∵AD∥BC，
∴△FED∽FBC，
∴

ED

BC

=

FD

FC

，
∴

t

8

=

2t-4

2t

，
∴t=4，
∴0≤t≤4；

（3）∵△BCF∽△CDE，
∴∠DEC=∠BFC
∵AD∥BC，∠DEC=∠ECB，
∴∠BFC=∠ECB，
∵∠BEC=∠BFC，
∴∠BEC=∠ECB，
∴BC=BE，
∵BC=8cm，
∴AB=4cm，∠A=90°，
∴AE=

BE2-AB2

=4

3

cm，
∴DE=（8-4

3

）cm，
∵8-4

3

＜4，
∴t=（8-4

3

）秒．

点评：本题综合性的考查了矩形的性质、相似三角形的判定以及性质、等腰三角形的判定和等腰三角形的性质和勾股定理的运用，题目的难度中等．