题目内容

计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
99×101
．
分析：观察原式的各项发现
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+2
），利用此公式对各项进行变形，然后提取
1
2
，合并抵消后即可求出值．
解答：解：∵
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+2
），
∴原式=
1
2
（
1
1
-
1
3
）+
1
2
（
1
3
-
1
5
）+
1
2
（
1
5
-
1
7
）+…+
1
2
（
1
99
-
1
101
）
=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
99
-
1
101
）
=
1
2
（1-
1
101
）
=
50
101
．
点评：此题考查了有理数的混合运算，利用的方法是裂项相消法，培养了学生的数感、符号感，灵活运用
1
n(n+2)
=
1
2
（
1
n
-
1
n+2
）是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
观察下列等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
…
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

将以上等式相加得到
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
n+1
．
用上述方法计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
99×101
其结果为（　　）
A、
50
101
B、
49
101
C、
100
101
D、
99
101
（阅读理解）
∵
1
1×2
=
1
1
-
1
2

1
2×3
=
1
2
-
1
3

1
3×4
=
1
3
-
1
4

…
∴计算：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2004×2005

=
1
1
-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2004
-
1
2005

=1-
1
2005

=
2004
2005

理解以上方法的真正含义，计算：
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
2003×2005
．
我们道：
1
1×2
=1-
1
2
，
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
…那么
1
n(n+1)
=
 
．
利用上面的规律计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2007×2009
=
 
．
观察等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
          
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
         
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
将以上三个等式两边分别相加得
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
 -
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接写出下式的计算结果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2010×2011
=
2010
2011
2010
2011
．
（3）探究并计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2009×2011
=
1005
2011
1005
2011
．
计算：
1
1×3
+
1
3×5
+…+
1
2009×2011
+
1
2011×2013
．

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