题目内容
观察等式：
=1-
，
=
-
，
=
-
，
将以上三个等式两边分别相加得
+
+
=1-
+
-
+
-
=1-
=
．
（1）猜想并写出：
=
-
-
．
（2）直接写出下式的计算结果：
+
+
+…+
=
．
（3）探究并计算：
+
+
+…+
=
．
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
将以上三个等式两边分别相加得
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（1）猜想并写出：
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
（2）直接写出下式的计算结果：
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2010×2011 |
| 2010 |
| 2011 |
| 2010 |
| 2011 |
（3）探究并计算：
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| 2009×2011 |
| 1005 |
| 2011 |
| 1005 |
| 2011 |
分析：（1）观察已知等式，由特殊到一般，得出结论；
（2）由（1）的结论，将每个分数化为两个分数，寻找抵消规律，计算结果；
（3）与（2）比较，分母的两个因数相差2，故各分子需要乘以2，才能将一个分数拆分为两个分数，再寻找抵消规律．
（2）由（1）的结论，将每个分数化为两个分数，寻找抵消规律，计算结果；
（3）与（2）比较，分母的两个因数相差2，故各分子需要乘以2，才能将一个分数拆分为两个分数，再寻找抵消规律．
解答：解：（1）由已知等式，得
=
-
，
故答案为：
-
；
（2）由分数拆分，抵消规律可知，
+
+
+…+
=
，
故答案为：
；
（3）
+
+
+…+
=
（
+
+
+…+
）
=
（1-
+
-
+
-
+…+
-
）
=
（1-
）
=
．
故答案为：
．
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
故答案为：
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
（2）由分数拆分，抵消规律可知，
| 1 |
| 1×2 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| 3×4 |
| 1 |
| 2010×2011 |
| 2010 |
| 2011 |
故答案为：
| 2010 |
| 2011 |
（3）
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 3×5 |
| 1 |
| 5×7 |
| 1 |
| 2009×2011 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 1×3 |
| 2 |
| 3×5 |
| 2 |
| 5×7 |
| 2 |
| 2009×2011 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 2009 |
| 1 |
| 2011 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2011 |
=
| 1005 |
| 2011 |
故答案为：
| 1005 |
| 2011 |
点评：本题考查的是有理数的运算能力．关键是根据已知等式，由特殊到一般，得出分数的拆分规律和抵消规律．
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