Question

【题目】如图，在中，，，点是边上的动点（点不与点重合），点在边的延长线上，，，与边交于点.

（1）求的值；

（2）当时，求的长；

（3）点在边上运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变化，请求的值；如果变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．解直角三角形求出BM，AM即可解决问题．

（2）设AH交CD于K．首先证明AK=CK，设AK=CK=x，在Rt△CHK中，理由勾股定理求出x，再证明△ADK∽△CDA，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．

（3）结论：AD：BE=5：6值不变．证明△ACD∽△BCE，可得．

（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=3，

∴，

∵，

∴BM=，

∴，

∴．

（2）设AH交CD于K．

∵∠BAC=2∠ACD，∠BAH=∠CAH，

∴∠CAK=∠ACK，

∴CK=AK，设CK=AK=x，

在Rt△CKH中，则有x2=（4-x）2+32，

解得x=，

∴AK=CK=，

∵∠ADK=∠ADC，∠DAK=∠ACD，

∴△ADK∽△CDA，

∴，设AD=m，DK=n，

则有，解得．

∴AD=．

（3）结论：AD：BE=5：6值不变．

理由：∵∠GBE=∠ABC，∠BAC+2∠ABC=180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC=180°，

∴∠EBC=∠BAC，

∵∠EDC=∠BAC，

∴∠EBC=∠EDC，

∴D，B，E，C四点共圆，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EDB+∠EDC=∠ACD+∠DAC，∠EDC=∠DAC，

∴∠EDB=∠ACD，

∴∠ECB=∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∴．