题目内容

【题目】如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于E、F两点,连结DE,已知∠B=30°,⊙O的半径为12,弧DE的长度为4π.

(1)求证:DE∥BC;
(2)若AF=CE,求线段BC的长度.

【答案】
(1)

解:证明:连接OD、OE,

∵AD是⊙O的切线,

∴OD⊥AB,∴∠ODA=90°,

又∵弧DE的长度为4π,

∴n=60,

∴△ODE是等边三角形,

∴∠ODE=60°,∴∠EDA=30°,

∴∠B=∠EDA,

∴DE∥BC.


(2)

解:连接FD,

∵DE∥BC,

∴∠DEF=∠C=90°,

∴FD是⊙0的直径,

由(1)得:∠EFD= ∠EOD=30°,FD=24,∴EF=

又∵∠EDA=30°,DE=12,

∴AE=

又∵AF=CE,∴AE=CF,

∴CA=AE+EF+CF= ,又∵

∴BC=60.


【解析】(1)要证明DE∥BC,可证明∠EDA=∠B,由弧DE的长度为4π,可以求得∠DOE的度数,再根据切线的性质可求得∠EDA的度数,即可证明结论.(2)根据90°的圆周角对的弦是直径,可以求得EF,的长度,借用勾股定理求得AE与CF的长度,即可得到答案.

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