题目内容
【题目】如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．
（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF ， 求AE的长；
（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．
①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；
②求EF的长；
（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE= 
，求 
的值．
【答案】
（1）
解：如图①，
∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF≌S△DEF，
∵S四边形ECBF=3S△EDF，
∴S△ABC=4S△AEF，
在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= 
=5，
∵∠EAF=∠BAC，
∴Rt△AEF∽Rt△ABC，
∴ 
=（ 
）2，即（ 
）2= 
，
∴AE= 
；
（2）
解：①四边形AEMF为菱形．理由如下：
如图②，∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，
∴AE=EM，AF=MF，∠AFE=∠MFE，
∵MF∥AC，
∴∠AEF=∠MFE，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∴AE=EM=MF=AF，
∴四边形AEMF为菱形；
②连结AM交EF于点O，如图②，
设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，
∵四边形AEMF为菱形，
∴EM∥AB，
∴△CME∽△CBA，
∴ 
，即 
= 
= 
，解得x= 
，CM= 
，
在Rt△ACM中，AM= 
= 
= 
，
∵S菱形AEMF= 
EFAM=AECM，
∴EF=2× 
= 
；
（3）
解：如图③，
作FH⊥BC于H，
∵EC∥FH，
∴△NCE∽△NFH，
∴CN：NH=CE：FH，即1：NH= 
：FH，
∴FH：NH=4：7，
设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，
∵FH∥AC，
∴△BFH∽△BAC，
∴BH：BC=FH：AC，即（4﹣7x）：3=4x：4，解得x= 
，
∴FH=4x= 
，BH=4﹣7x= 
，
在Rt△BFH中，BF= 
=2，
∴AF=AB﹣BF=5﹣2=3，
∴ 
= 
．
【解析】本题考查了三角形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长．解决此类题目时要各个击破．（1）先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF≌S△DEF ， 则易得S△ABC=4S△AEF ， 再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到 =（ ）2 ， 再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF为菱形；②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4﹣x，先证明△CME∽△CBA得到 = = ，解出x后计算出CM= ，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x﹣1，BH=3﹣（7x﹣1）=4﹣7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x= ，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出 的值．
