Question

已知y=ax²+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．
（1）求直线和抛物线解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S_△OCD=2S_△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，
∴，解得，∴y=x+4，
把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，，
∴y=-x²+6x；
（2）存在．设D点纵坐标为h（h＞0），
由O（0，0），A（1，5），B（4，8），可知S_△OAB=6，
∴S_△OCD=2S_△OAB=12，×6×h=12，解得h=4，
由-x²+6x=4，得x=3±，
∴D（3+，4）或（3-，4）．
分析：（1）由直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，列方程组求k、m的值，再把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式求a、b、c的值；
（2）存在．根据O、A、B三点坐标求△OAB的面积，再由S_△OCD=2S_△OAB=12，求D点纵坐标，代入抛物线解析式求D点纵坐标．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求两函数解析式，再根据面积的等量关系求D的坐标．